Z
[u(t)]

k 0
z

k

1
1 z
1
z 1
(3) Z [at Tu(t)] Z [anu[n]]

ak zk
k 0

1

1 az
1
za
16
例3.4求下列离散序列的Z变化及收敛域，其中a为任意复常数
x[n] anu[n 1]

X (z) anu[n 1]zn n
10
练习：
已知离散系统的差分方程 y[n]-2y[n-1]=r(k)
初始条件为y[0]=0, r[k]={1,0,1,0,1,0,…}.
11
Matlab程序 clear; clc; ck=0;rk=1; for k=1:10
ckplus1=2*ck+rk; a=num2str(k); b=num2str(ckplus1); c=['y(' a ')=' b]; disp(c) rk=1-rk; ck=ckplus1; end
y[k] y f [k] yp[k]
6
例 3.1
求解差分方程 y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=2nu[n]
初始条件为y[0]=0, y[1]=2.
7
练习：
求解差分方程 y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]= 2nu[n]
初始条件为y[1]=5, y[2]=9.
8
2. 差分方程的求解
差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法 差分方程的迭代解法
如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定 输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出 任何时刻的输出值。 原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面 各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一 时刻的待求值。
1
an zn n
ak zk k 1
a1z 1 a1z
z
za
za
17
3.2.2 Z变换的性质和定理
（1）线性性质
证明：
Z [ax1[n] bx2[n]] aX1(z) bX2(z)
Z [ax1[n] bx2[n]]

(ax1[n] bx2[n])zn n
3
2. 差分方程的求解
差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法 差分方程的经典解法 （1） 对应齐次方程的通解
齐次方程 y[n] a1y[n 1] aN y[n N ] 0
特征方程 N a1 N1 an1 an 0
单根
y f [k] l11k l22k lN Nk
nm（多项式） λ不是方程的特征根 单根
λ是方程的特征根 (m-1)重根
pmnm+pm-1nm-1+…+p1n+p0 pλn
p1nλn+p0λn pm-1nm-1λn+pm-2nm-2λn+…+p0λn
5
2. 差分方程的求解
差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法 差分方程的经典解法 （3）差分方程的全解
重根
y f [k] l11k k m1 l21k k m2 lm1k

l k
m1 m1

lN Nk
4
2. 差分方程的求解
差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法 差分方程的经典解法 （2）非齐次方程的一个特解yp[k]
输入函数r[n]形式
特解形式
λn （指数 函数）


ax1[n]zn bx2[n]zn
n
n
aX1(z) bX2 (z)
18
例3.5 利用Z变换的性质，求余弦函数
cos[0n]u[n]

1 2
(e
j0n

e
j0n
)u[n]
的Z变换
解： 已知
Z
[anu[n]]

1

1 az
1
za
Z
[e j0nu[n]]
9
例 3.2
已知离散系统的差分方程 y[n]-0.6y[n-1]=r[n]
初始条件为y[0]=0, r[n]=1. 解： y[n] =0.6y[n-1]+r[n]
n=1, y[1]= 0.6y[0]+r[1]=1 n=2 , y[2]= 0.6y[1]+r[2]=1.6 n=3 , y[3]= 0.6y[2]+r[3]=1.96 ……
12
3.2 Z变换
Z变换的定义 Z变换的性质和定理
求Z变换的方法
13
3.2.1 Z变换的定义
kT ) k 0
拉氏变换

F*(s) f (kT )ekTs k 0
在拉氏变换中引入新复变量
从而有
z eTs
Z变换常记为 Z [x[n]] X (z)
连续时间函数与相应的离散时间函数具有相同的Z变 换，即
Z [x(t)] Z [x[n]] X (z)
15
例3.3 求下列离散序列的Z变化及收敛域，其中a为任意复常数

(1) Z [ (t)] [k]zk 1
k 0
(2)
第三章 线性常系数差分方程
3.1 线性常系数差分方程 3.2 z变换
3.3 z反变换
3.4 用z变换求解线性常系数差分方程
1
3.1 线性常系统差分方程
在离散系统中，用差分方程、脉冲传递 函数和离散状态空间表达式三种方式来描述表 示输出和输入信号关系的数学模型。
差分方程的一般概念 差分方程的求解

F
(z)

F*(s)
|
s

1
ln z

f (kT )zk
T
k 0
14
3.2.1 Z变换的定义

离散序列x[n]的Z变换定义为: X (z) x[n]zn n
Z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。 就是说，极限

lim x[n]zn
n n
存在时， x[n]的Z变换才存在。

1 1 e j0 z 1
Z
[e
j0nu[n]]
2
1. 差分方程的一般概念
输入序列
r=r[k]={r[0],r[1],r[2],…} 输出序列
c=c[k]={c[0],c[1],c[2],…} 系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即
N
M
c[n] aic[n i] bjr[n j]
i1
j0
其中，aj，bj是由系统物理参数确定的常数。