高三数学一轮复习 用样本估计总体巩固与练习1．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6 解析：选D.由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，故平均分为84×3＋86＋875＝85，方差为15[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 2．(2009组别 频数(0,10] 12(10,20] 13(20,30] 24(30,40] 15(40,50] 16(50,60] 13(60,70] 7A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：选C.由列表知样本数据落在(10,40]上的频数为52，频率为0.52.3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是( )A ．30B ．60C ．70D ．80解析：选C.底部周长小于110 cm 的频率：10×0.01＋10×0.02＋10×0.04＝0.7.周长小于110 cm 的株数为：100×0.7＝70.4．(原创题)在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小方形的面积由小到大构成等差数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．答案：1605．(2009年高考重庆卷)从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为(单位：克)：125 124 121 123 127则该样本标准差s＝________(克)(用数字作答)．解析：∵x＝15(125＋124＋121＋123＋127)＝124，∴s2＝15[(125－124)2＋(124－124)2＋(121－124)2＋(123－124)2＋(127－124)2]＝4，∴s＝2.答案：26．为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率．解：(1)M＝10.02＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1，n＝mM＝250＝0.04.(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图．(3)在153.5～157.5范围内最多，估计身高在161.5以上的概率为P ＝1050＝0.2.练习高度(cm) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)棵数 20 30 80 40 30A ．0.80B ．0.65C ．0.40D ．0.25解析：选C.由频率含义可计算其结果．由频率的定义得80÷(20＋30＋80＋40＋30)＝0.40.2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选A.个数为偶数，因此中位数22＝x ＋232， ∴x ＝21.3．在2008年第29届北京奥运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首．如图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图，则这十二个代表团获得的金牌数的平均数与中位数的差m 的值为( )A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5解析：选B.由茎叶图中的数据可求得这十二个代表团获得的金牌数的平均数为17.5，中位数为13.5，故m＝4.4．如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字)，由图可知( )A．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高B．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高C．甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高D．甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高解析：选 A.求中位数时，必须先将这组数据从小到大或从大到小排列，数据的个数为奇数，则中位数是最中间的一个，若数据的个数为偶数，则中位数是最中间的两个数据的平均数，据此易知两人中位数和为18.2，又分析茎叶图可知乙数据分布比较集中，即乙的稳定性较高．5．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A．81.2,4.4 B．78.8,4.4C．81.2,84.4 D．78.8,75.6解析：选A.设原来的平均数为x.则x－80＝1.2，∴x＝81.2，方差不变．6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b 的值分别为( )A．0.27,78 B．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83解析：选A.组距＝0.1,4.3～4.4之间的频数为100×0.1×0.1＝1.4．4～4.5之间的频数为100×0.1×0.3＝3.根据前4组频数成等比数列，则4.6～4.7之间的频数为1·(31)3＝27.∴最大频率a ＝27100＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且有100－13＝87(人)，设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87，∴d ＝－5，所以b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78. 7．如图所示是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：(1)样本数据落在[5,9)内的频率是 ；(2)样本数据落在[9,13)内的频数是 .解析：该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力．频率＝频率组距×组距＝0.08×4＝0.32，频数＝频率×样本容量＝0.09×4×200＝72.答案：0.32 728．(2009年高考辽宁卷)某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解析：由于三个厂的产量比为1∶2∶1 ，所以从三个厂抽出产品比例也应为1∶2∶1.所以100件产品的使用寿命平均值为980×1＋1020×2＋1032×14＝1013. 答案：10139．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12，13.7，18.3,20，且总体的中位数为10.5，平均数为10.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．解析：这10个数的中位数为a ＋b 2＝10.5. 这10个数的平均数为10.要使总体方差最小，即(a －10)2＋(b －10)2最小．又∵(a －10)2＋(b －10)2＝(21－b －10)2＋(b －10)2＝(11－b )2＋(b －10)2＝2b 2－42b ＋221，∴当b ＝10.5时，(a －10)2＋(b －10)2取得最小值．又∵a ＋b ＝21，∴a＝10.5，b＝10.5.答案：a＝10.5，b＝10.5 10人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？解：(1)众数200，中位数220，平均数x＝1×2200＋6×250＋5×220＋10×200＋1×10023＝300.(2)平均数受数据中的极端值的影响较大，这个平均数是从一名工资极高(是工人工资的11倍)的经理和其他四类员工的周工资计算出来的，它不能客观地反映该工厂的工资水平．11．(2009年高考安徽卷)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434 ,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,40 7,410,412,415,416,422,430(1)画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解：(1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A 的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．12．(2009年高考宁夏、海南卷)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.生产能力分[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150) 组人数48x 5 3生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人数6y 3618度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P＝110×110＝1100.(2)①由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．②x A＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。