高三数学小题冲刺训练（十）姓名：_______________班级：_______________考号：_______________一、填空题（共16小题，每小题5分，共计80分）1．集合{x |－1≤log 1x 10<－12，x ∈N *}的真子集的个数是 ．2．复平面上，非零复数z 1，z 2在以i 为圆心，1为半径的圆上，_z 1·z 2的实部为零，z 1的辐 角主值为π6，则z 2=_______．3.曲线C 的极坐标方程是ρ=1+cos θ，点A 的极坐标是(2,0)，曲线C 在它所在的平面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。

则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．7.. 若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= . 8. 在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 . 9. 设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.10. 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.11. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 12.AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值为________ 13.AB 为边长为1的正五边形边上的点．则AB 最长为___________14.正四棱锥S-ABCD 中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是_________ 15.在数1和2之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A n ，令a n =log 2A n ，n ∈N ．（1）数列{A n }的前n 项和S n 为_________________（2）T n =tana 2•tana 4+tana 4•tana 6+…+tana 2n •tana 2n+2=_____________________16.已知数列A ：a 1，a 2，…，a n （n ≥3），令T A ={x|x=ai+aj.1≤i ＜j ≤n}，car （T A ）表示集合T A 中元索的个数．①若A ：2，4，8，16，则card （T A ）=______；②若a i+1-a i =c （c 为非零常数．1≤i ≤n-1），则card （T A ）=______． 参考答案1. 解 由已知，得12<log x 10≤1⇒1≤lg x <2⇒10≤x <100．故该集合有90个元素．其真子集有290-1个．2. 解：z 1满足|z －i |=1；argz 1=π6，得z 1=32+12i ，_z 1=cos(－π6)+i sin(－π6)．设z 2的辐角为θ(0<θ<π)，则z 2=2sin θ(cos θ+i sin θ)．_z 1·z 2=2sin θ[cos(θ－π6)+i sin(θ－π6)]，若其实部为0，则θ－π6=π2，于是θ=2π3．z 2=－32+32i ．3. 解：只要考虑|AP |最长与最短时所在线段扫过的面积即可． 设P (1+cos θ，θ)，则|AP |2=22+(1+cos θ)2－2·2(1+cos θ)cos θ=－3cos 2θ－2cos θ+5=－3(cos θ+13)2+163≤163．且显然|AP |2能取遍[0，163]内的一切值，故所求面积=163π．4. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a ，侧棱为b ． 取CD 中点G ，则AG ⊥CD ，EG ⊥CD ，故∠AGE 是二面角A —CD —E 的平面角．由BD ⊥AC ，作平面BDF ⊥棱AC 交AC 于F ，则∠BFD 为二面角B —AC —D 的平面角． AG=EG=b 2－a 2，BF=DF=2a b 2－a 2b，AE=2b 2－(233a )2=2b 2－43a 2．由cos ∠AGE=cos ∠BFD ，得2AG 2－AE 22AG 2=2BF 2－BD 22BF 2．∴ 4(b 2－432a 2)b 2－a 2=4a 2b 24a 2(b 2－a 2)⇒9b2=16a 2，⇒b=43a ，从而b=2，2a=3． AE=2．即最远的两个顶点距离为3．5. 解：至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；2ab abbGEFBCDA用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C 45(4－1)! =30；6×30÷2=90种方法；． 用4种颜色：C 26C 24=90种方法． 用3种颜色：C 36=20种方法．∴共有230种方法．6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x 2+y 2=1992的整数解数． 显然x 、y 一奇一偶，设x=2m ，y=2n －1．且1≤m ，n ≤99．则得4m 2=1992－(2n －1)2=(198+2n )(200－2n )．m 2=(99+n )(100－n )≡(n －1)(－n ) (mod 4)由于m 为正整数，m 2≡0，1 (mod 4)；(n －1)(－n )≡⎩⎨⎧0，(当n ≡0，1(mod 4)时)2，(当n ≡2，3(mod 4)时)二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解． ∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．7. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 8. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 9. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 10. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．11. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.【解析】 12.不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；①BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③ 0s >，则有6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④ 又由当12x a x b s ==-=时，③，④处的等号均可取到． ∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 13.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x = 14.α＜β＜γ＜θ． 15.16. 6；2n-3IH GFE1111x x-1。