第二章 变分原理与能量原理2.1 功和能基本概念能量法是与静力学方法平行的一种方法，对许多问题的求解更为方便，也能解决一些其它方法难以解决的复杂问题。

静力平衡方程方法——————————能量法⇓ ⇓解题复杂，有时甚至得不到全部平衡方程 能解决很复杂问题（一） 外力功与应变能的一般表达式 1.常力(集中力)·直线运动 θcos S F W ⋅= 2.变力·曲线运动⎰⎰==SS Fds w W 0cos θδ3.变形体：⎰∆=δpd W （p 不是常力）（准静态，而非冲击，即非波） 对线弹性体(准静态)δk p =⎰⎰∆∆∆===0202k d k pd W δδδ∆=P W 21（图示） 4.广义力与广义位移 集中力偶M ，转角θ ⎰=θMd W*问：线弹性结构外力功的计算是否能运用叠加原理?答：不能。

因()n i P P P ,,,21Λ=∆。

W 是i P 的二次函数而不是线性函数。

（二） 试述实功与虚功之区别。

当结构发生变形时，作用于结构的外力会在相应的位移上作功。

这里可分为两种不同的情况： (1)外力在自身引起的位移上作功，这种功称为实功。

例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力1P 在位移叫11w 上所作之功即为实功，如解6—1图(b)中的阴影面积1A 所示。

其中11w 为外力1P 引起的位移。

(2)外力在其它因素引起的位移上作功，这种功称为虚功。

例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力1P 在位移12w 上所作之功即为虚功，如解6-I 图(b)中的阴影面积2A 所示其中12w 为外力2P 在外力1P 处引起的位移。

实功与虚功的区别在于：(1)作实功时，外力随位移而变，故实功为变力作功；作虚功时，外力不随位移而变，故虚功为常力作功。

(2)作实功时，外力与自身引起的位移在方向上总是一致的，所以实功恒为正功；作虚功时，其它因素引起的位移与外力的方向就不一定一致了，所以虚功可正、可负。

以上仅就外力功作了讨论，至于内力实功与虚功的区别，请读者、自己思考。

（三） 弹性杆应变能的一般表达式()()()θϕδd x M d x T d x N dW dU 212121++== ()()()EIdxx M GI dx x T EA dx x N p 222222++=(忽略剪力，广义力乘广义位移) 在小变形条件下，变形与()x N ，()x T ，()x M 不耦合，可以叠加。

()()()⎰⎰⎰++=l l pl dx EI x M dx GI x T dx EA x N U 222222对于斜弯曲，弯矩沿主形心轴分解,()⎰l dx EI x M 22换成()()⎰⎰+l z z l y y dx EI x M dx EI x M 2222例：计算外力功：EIMl y EIPl y M A P A 2323==EIMl EIPl M A P A==θθ22单独作用P ：EIl P EI Pl P W P6321323=⋅=单独作用M ：EIl M EI Ml M WM2212=⋅= P 和M 共同作用：()()MAP A M A P A M P M y y P W θθ+++=+2121 EIlM EI PMl EI PMl EI Pl 24462223+++= 附加项*问：前述弹性杆应变能的一般表达式中各项是否能用叠加原理？ 答：能。

因各广义力引起的变形不耦合。

（四） 应变能和余应变能结构元件受到逐渐增大的载荷P 的作用，如图2-5所示。

当元件因受载而伸长时，载荷P 就作功。

在静力学中，由于不考虑惯性力(质量力)，所以，假设载荷的施加是非常缓慢的，同时在加载过程中没有热量的产生和消散，于是按照能量守恒原理，可知载荷所作的功W=结构变形所贮存应变能U对于具有非线性弹性特征的元件，典型的载荷一位移曲线如图2-6所示。

U dx e A Pdu W Lxx xx u===⎰⎰0σ式中：A ——元件的横截面积；L ——元件长度；应变dx du e xx /=。

图2-7中曲线下面的面积表示了应变能U 的大小。

⎰⎰-=PuudP Pu Pdu 0曲线上面的那部分面积用*U 表示，称为余应变能。

⎰⎰=-=PuudP Pdu Pu U 0*余应变能并无物理意义，它不过纯粹是为了使用上的方便而定义的一个数学量而已。

显然，u dPdU P dudU==*, 从图2-7也可以清楚地看出，在线弹性情况下，曲线退化为直线，U 与*U 相等，应变能和余应变能是完全可以互换的。

实际上，式（2-41)中的dU/dP ＝u 就是大家所熟知的卡氏第一定理，它只适用于线弹性(n ＝1)情况。

正确的关系式应该是u dP dU =/*，它无论在线弹性或非线性弹性情况下都是适用的。

（五） 位移函数表示的梁弯曲变形应变能1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()EIx M =ρ1(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由y '和y ''表示) 2.由数学()23211y y '+''±=ρ3.挠曲轴微分方程()()EIx M y y ='+''±2321 (1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程Θ小变形，()<≈'θy 0.0175(弧度)12<<'y112≈'+y ((1)式分母不再存在)()EIx My =''∴ 于是()()()()dx x x w EJ dx y EJ y d EIy d x M dU 22222''2'''2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂====θ 2.2 变分原理举一个简单的例子，设有一安放在弹性地基上的梁，承受横向分布载荷q(x)的作用。

已知梁的一端(x=0)是固定的，另一端(x=L)是自由的。

问：梁取怎样的挠度w(x)才能使这个系统(系统是指梁、地基和载荷的总和)的总势能∏取最小值?系统总势能=梁弯曲应变能+地基变形能+载荷势能具体地，梁弯曲应变能b ∏：()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∏Lb dx dx x w d EI 022221其中，EJ-----梁的弯曲刚度为，E----材料的弹性模量，J----主惯性矩地基中由于梁的挠度而贮存的能量f ∏为()[]⎰=∏Lf dx x w k 0221其中，κ-------弹性地基的刚度由于梁的挠度，载荷随之下降而使载荷的势能有了变化。

载荷势能q ∏的变化可以写成()()⎰=∏Lq dx x w x q 0现在，系统的总势能∏(即上列3者之和)为()()[]()()⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∏Ldx x w x q x w k dx x w d EI 022222121 此时，上述力学问题已经转化为如下数学问题：[]L x ,0∈，求w （x ），使它满足边界条件：()00=w ，()00'=w ，并上述积分定义的泛函∏取最小值显然，∏依赖于()x w 的变化，不同()x w 对应不同∏，此时，()x w 称为自变函数，∏则称为泛函。

(1)能够满足边界条件()00=w ，()00'=w 的自变函数()x w 可以有无穷多个，但同时满足使泛函∏取最小值的()x w 却只有一个，记为()x w *。

“相当于条条道路通罗马，但只有一条最近”。

(2)设在()x w *的附近有另一曲线()x w ，并令()()()x w x w x w δ+=*，如果)(x w δ足够小，是一无穷小量，则称)(x w δ是自变函数()x w 的变分。

)(x dw 和变分)(x w δ有本质上的差异。

)(x dw 是由于自变量x 的变化dx 引起，而)(x w δ则是自变量x 不变，函数()x w 本身的微小变化，可理解为()x w 函数形式作了微小变化，所以对于泛函∏来说，)(x w δ是自变函数()x w 的小变化。

以上问题在数学上可归纳为变分法问题：求泛函()()()[]⎰=∏ldx x w x w x w x F 0'',',,满足()00=w ，()00'=w 边界条件下的极小值所对应函数()x w 。

（一） 定积分dx y y x F ba⎰'),,(的驻立值问题给定问题：求()x y ，[]b a x ,∈，使它满足边界条件：（1）()()βα==b y a y ,；（2）泛函[]⎰=badxy y x F I ',,取极值。

分析过程：假定曲线GACH 就是所求的曲线()x y （如图2-1所示），则在其邻近的曲线GBDH 所对应的函数为)()(x y x y δ+（如图2-2所示），其中)(x y δ是一无穷小量（称为自变函数的变分，它使I 产生的增量I ∆）。

于是，相应于这两条曲线，可以求得()[]⎰++=∆+badx y y y y x F I I '',,δδ （2-1）图2-1由于()''y y δδ=（2-2）即微分运算与变分运算可互换（见书第3页），则I I ∆+可以写成[]⎰++=∆+badx y y y y x F I I '',,δδ（2-3）或者()()[]⎰-++=∆badx y y x F y y y y x F I ',,'',,δδ（2-4）由于被积函数F 是',,y y x 的连续可导函数，当y 'δ，y ''δ是无穷小量时，I ∆也是无穷小量，所以由泰勒级数公式：()())(''',,'',,高阶小量++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+=++Λy y F y y F y y x F y y y y x F δδδδ 略去高阶小量，则有⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=ba dx y y F y y F I ''δδδ（2-5)式中：I δ称做I 的一阶变分，简称变分，它是泛函增量中的一阶小量部分。

令y v y F u δ=∂∂=,'利用分部积分[]ba bab auv vdx u dx uv +-=⎰⎰''（2-6)则式（2-5)的右端第2项可改写为ba bab a y y F ydx y F dx d dx y y F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∂∂⎰⎰δδδ'''' （2-7)将式（2-7)代入式（2-5)，得ba ba y y F ydx y F dx d y F I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎰δδδ'' （2-8)由边界条件a x =和b x =处，0=y δ,故式（2-8)最后一项必等于零。