第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。

考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。

每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=31j j ij e σ。

这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。

由此得到九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。

对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。

如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。

2.1.2 柯西(Cauchy)方程记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。

外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。

设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为⎪⎪⎪⎭⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即j n j n T e T )()(= (2.4)另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。

考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为()0313)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5)其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅31为此微元的体积。

当此四面体微元无限缩小时, 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得3)3(2)2(1)1()(n n n n ααα⋅+⋅+⋅=T T T T (2.6)将(2.1)代入, 就得到j ni ij n e T ασ=)( (2.7) 与(2.4)比较就得到)(n T 的坐标分量与应力分量间的关系为：ij ni n j T σα=)( (2.8) 这就是柯西(Cauchy)公式，写成矩阵形式就是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211)(3)(2)(1n n n n n n T T T ααασσσσσσσσσ 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m l T T T zz zy zxyz yy yx xz xy xx n z n y n x στττστττσ)()()( (2.9)斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为ij nj ni n j nj T σααασν==)( (2.10) 或将321 , ,n n n ααα写成l , m , n ,312312332222112222σσσσσσσνnl mn lm n m l +++++= (2.11)切线方向上的分量(剪应力)()()()()22)(32)(22)(122)(νννσστ-++=-=n n n n T T T T(2.12)2.1.3 坐标变换建立新的正交坐标系1x ', 2x ', 3x ', 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面1x ', 新坐标轴1x ', 2x ', 3x '与原坐标轴1x , 2x , 3x 之间的夹角余弦如下表示：则上面的应力矢量成为)1('T 将应力分量从原坐标系xyz o -变换到新坐标系'''z y x o -，(2.10)成为ij j i j j T σααασ11)1(111''''''== (2.13)同理图2.1⎪⎭⎪⎬⎫====''''''''''''ij j i j j ij j i j j T T σααασσααασ31)1(33121)1(221 (2.14) 一般地，有ij j j i i i j j j j i T σααασ''''''==)( (2.15)上式为应力张量坐标变换式, 用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''''''''''333231322221131211333231232221131211332313322212312111'3'3'2'3'1'3'3'2'2'2'1'2'3'1'2'1'1'1αααααααααστττστττσααααααααασσσσσσσσσ (2.16) 上式用在具体计算时比较方便。

在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中αi i '为新坐标中x i ’与旧坐标中x i 之间夹角的方向余弦。

剪应力互等定理:设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx 1、dx 2、dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。

因而得ji ij σσ= (2.17)这就是剪应力互等定理。

它表明，应力张量是对称张量。

2.1.4 主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。

主平面的正应力为主应力。

设方向n 为主方向，其方向余弦为)(321n n n 、、, 此面上的主应力为σ, 则⎪⎭⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=3)(32)(21)(1n T n T n T n n n σσσ (2.18) 将上式代入柯西公式(2.7), 得⎪⎭⎪⎬⎫=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333232131323222221313212111n n n n n n n n n σσσσσσσσσσσσ (2.20) 上式写成张量形式就是：()0=-i ij ijασδσ(2.21)其中ij δ为克罗耐克尔(Kroneker)符号：⎩⎨⎧≠==j i j i ij 01δ因为321n n n 、、不能同时为零，所以(2.20)的系数行列式必须为零。

得0)()()(223231232212131211=---i i i σσσσσσσσσσσσ (2.22) 上式写成张量形式就是： ()0det =-ij ij σδσ (2.23)将(2.22)的行列式展开后得032213=-+-I I I i σσσ (2.24)方程(2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=++=++=333231232221131211311133133333223222221121123322111 σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσI I I (2.25)特征方程(2.24)在坐标变换时保持不变，即它的三个系数I 1, I 2, I 3不随坐标系的变化而改变，I 1, I 2, I 3分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。

解特征方程求得三个实根就是主应力, 通常取321σσσ≥≥。

将其值代入方程组(2.20), 并和条件1232221=++n n n 联立, 即可求得对应于每一个主应力i σ)3,2,1(=i 的主方向()()321321,,1,,w w w Hn n n i ==n )3,2,1(=i (2.26) 其中()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+-=+-=+-=2123222111212221123131211232231222131,,,w w w H w w w i i i i σσσσσσσσσσσσσσσσ )3,2,1(=i (2.27)上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。

如果选择主方向为坐标轴321,,x x x , 则应力张量不变量(2.25)可化简为⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=321313322123211σσσσσσσσσσσσI I I (2.28)2.1.5最大剪应力可以证明，三个最大剪应力分别为⎪⎭⎪⎬⎫-±=-±=-±=)()()(13131322123212112σστσστσστ (2.29)这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成45°夹角。

最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 模型中会用到。

2.1.6 应力圆(Mohr 圆)记N σ为某一截面上的正应力，τ为该截面上的剪应力。

Mohr 圆为τσ-N 平面上的一个圆，这个圆的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,22211σσ, 半径为212222112σσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-。

圆上的一点表示某一截面上的应力。

该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。

这个圆用方程表示就是：2122221122221122σσστσσσ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-N (2.30)图2.2显示了Mohr 圆，其中A 点代表以1x 轴为法线的截面上的应力),(1211σσ。

该截面的法线与第一主方向的夹角为'α。

延长AC 交Mohr 圆于D 点。