;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ()g = g g = ijij
斜面剪应力
() n
2 n2
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
➢定义式
面力：
P X lim
S0 S
Xi
lim
S0
Pi S
P
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。
内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
x y
yz
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
ii jj ijij
1 2
I12 ijij
x xy zx I3 xy y yz eijk1i2j3k
zx yz z
xyz 2xyyzzx xy2z yz2x zx2y
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：
( ) g
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( ) 1 e 1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( )je j
则柯西公式的分量表达式为
()1 111 221 331
即
()2 112 222 332 ()3 113 223 333
() j iij
.
Chapter 3.2
柯西公式
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
.
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
.
Chapter 3
外力、内力与应力
外力
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外力
体力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
.
Chapter 3.1
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
.
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负 面和一个法向矢量为
1 e 12 e 23 e 3ie i
的斜截面组成，其中
i cos(,ei)gei x 1
pnx xl yxm zxn pny xyl ym zyn pnz xzl yzm zn
由剪应力互等定理可得：
pnx xl xym xzn pny xyl ym yzn pnz xzl yzm zn
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
.
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数
i ( )
lim Fi S 0 S
学定义和物理量纲都相同。
X
i
lim
S 0
Pi S
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力， 而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
33
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 3jej x3 33
柯西公式
() g(e11jej e22jej e33jej) g(ijeiej)
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义
应力张量
ijeiej
.
Chapter 3.2
柯西公式
()g(ijeiej)g
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
.
Chapter 3.2
柯西公式
应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且
1 2 3
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力的性质
3I12I2I30
➢ 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征 根的主应力及相应主方向都是不变量。
1, 2, 3
1, 2 , 3
➢ 实数性 即特征方程的根永远是实数。
.
Chapter 3.3
X xl xym zxn Y yxl ym zyn Z xzl yzm zn
写成指标符号
pj iij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X , Y , Z
.
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢正交性 • 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； • 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作 用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任 选两个相互正交的方向作为主方向； • 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交 的方向都可作为主方向。
l 1 ,m 1 ,n 1 , l 2 ,m 2 ,n 2 , l 3 ,m 3 ,n 3
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
✓ I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应 力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立 的。
✓ 通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e 1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
.
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：V Nhomakorabea1 3
dhdS
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x1
.
x3
图2-4
( ) ( )3
x2
( )2
()1
Chapter 3.2
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
zy
xx
y x
xz
xy
yz
xz
yy
yy z yz
xy
yx
xx
zy
zx
o
y
zz
x
应力分量的正负号规定
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
x
y
应力分量的个数
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
.
主应力 & 应力不变量
x3
11
2 1
12
22
13
x1
23
32
31 33
( )
x2
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
.
Chapter 3.3
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力
➢ 应力矢量
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( )
lim
S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。
对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
32
即：
(i) ijej
31
e3 11
13 12
e2 e1
23 22
21 x2
x1
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e112e2 13e3 1jej (2) 21e122e2 23e3 2jej (3) 31e132e2 33e3 3jej
共出现九个应力分量：
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当 i≠j 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。