【高考地位】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．【方法点评】方法一 直接法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.例1．如图甲， O e 的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4π∠AB =，D 3π∠AB =．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求证：C D B ⊥E ；（2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）利用等边三角形的性质可得DE ⊥AO ，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE ⊥平面ABC ，进而得出结论．（2）要满足FG ∥平面ACD ，可过直线FG 做一平面使其与平面ACD 平行，找到所做平面与BD 弧的交点．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性．【变式演练1】如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =．（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）结论：在线段DE上存在一点F，且13 EFED=，使//AF平面BCE．解：设F为线段DE上一点，且13EFED=，过点F作//FM CD交CE于M，则1=3FM CD．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以//CD AB．又因为3CD AB=所以MF AB=，//FM AB，所以四边形ABMF是平行四边形，则//AF BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以//AF平面BCE．【变式演练2】如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．FDCPE（1）求证：//AB EF；（2）若PA AD=，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD?（直接给出结论，不需要说明理由）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】方法二 空间向量法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.例2. 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（Ⅰ）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（Ⅱ）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．思路分析：（Ⅰ）方法一：以B 为原点，,,BA BP BC u u u v u u u vu u u u v分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABCD 的一个法向量，由此证得结果；方法二：连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ，由中位线定理可得12OM PB P ，从而证得四边形AEMO 是平行四边形，进而由平行四边形的性质可使问题得证；（Ⅱ）先求出平面PCD 的一个法向量，然后由此利用向量法求出线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25．（方法二）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =． 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO ，因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．点评：利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系．【变式演练3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=o ，AE ED =，H 为AD 的中点.（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点P 的坐标为(1,2,0)-,使2BP BC ==. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；(2)借助题设构建空间坐标系运用空间向量求解探求.（2）因为AD OH HE ，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -，则(1,0,0)A (1,0,0)D -，(0,1,1)F ，(0,1,0)O ，(1,2,0)C -.设点(,2,0)(02)P m m <≤，于是有(1,1,1)DF =u u u r ，(1,2,0)DP m =+u u u r.考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用．【变式演练4】如图,ABCD 是边长为3的正方形，ABCD 面⊥DE ，AF DE DE AF 3,//=,BE 与平面ABCD 所成的角为060.(1)求二面角D BE F --的的余弦值;(2)设点M 是线段BD 上一动点，试确定M 的位置，使得BEF AM 面//，并证明你的结论.解：【变式演练4】如图，平面ABDE ⊥平面ABC ， ABC ∆是等腰直角三角形，4AB BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，//BD AE ，BD BA ⊥，122BD AE ==，点O 、M 分别为CE 、AB 的中点.（1）求证：//OD 平面ABC ；（2）求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；（3）能否在EM 上找到一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .【高考再现】1. 【20XX 年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥， 1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AM AP =试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， 所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥， 又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ； （2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ， 因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.2.【20XX年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD 的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.E D CB PA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 3 .【解析】试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：易知PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥CE. 于是CE ⊥平面PAH. 所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH =322， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE u u u r =（1,0,-2），EC u u u r =（1,1,0），AP u u u r =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u u u u r u u u rn n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩ 设x=2，解得n=(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||n AP n AP ⋅⋅u u u u r u u u r 2221322(2)1=⨯+-+ . 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.z yxMEDCBPA考点：线线平行、线面平行、向量法.3. 【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析. 【解析】P⊥AB．所以CPA．所以AB⊥平面CPA．所以平面PAB⊥平面C考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.【反馈练习】1.【江苏省淮安市20XX 届高三第五次模拟考试】（本题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 是圆柱的中截面，点E 为线段BC 的中点，点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点．（1）在圆柱的下底面上确定一定点F ，使得//EF 平面ASC ；（2）求证：平面ASC ⊥平面BSC ．【答案】（1）点F 为线段AB 的中点；（2）详见解析；【解析】2.【20XX 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】(本小题满分14分)已知直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为11,AA CC 的中点，AC BE ⊥,点F 在线段AB 上，且4AB AF =．⑴求证:1BC C D ⊥；⑵若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置， 使得1//C D 平面1B FM ．ABCE(第16题)【答案】（1）见解析；（2）BE=4ME 【解析】⑵连结AE ，在BE 上取点M ，使BE=4ME, 连结FM ，1B M ,F 1B ，在BEA 中，由BE=4ME ，AB=4AF第16题A BC1B1A1CD E F g ABC1B1A1CD E F M所以MF//AE ， 又在面AA 1C 1C 中，易证C 1D//AE ，所以1//C D 平面1B FM ．3.【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】如图,三棱锥A BCD -中,侧面ABC 是等边三角形,M 是ABC ∆的中心．⑴若DM BC ⊥,求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ,使//MN 平面BCD ,求ANND的值．MDBA【答案】⑴见试题分析；⑵12【解析】⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ,所以M ∈平面ADE ,因为AD 上存在点N ,所以N ∈平面ADE ,所以MN ⊂平面ADE , 又//MN 平面BCD ,平面ADE I 平面BCD DE =,所以//MN DE , 在ADE ∆中,因为12AM ME =,所以12AN ND =．4．【20XX 届福建省福州市第八中学高三上学期第三次质检】在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，3AC =，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求四面体FBCD 的体积；（2）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？证明你的结论．【答案】（1）祥见解析；（2）123；（2）祥见解析. 【解析】5．【20XX届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC．（1）当1BE=，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P 点位置，若不存在，说明理由；（2）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．【解析】（1）存在P使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时．35 AP AD=下面证明：35APAD=，过点P作MP∥FD，与AF交于点M，则有35MPFD=，又FD＝5，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP//=EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．（2）因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC 由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x （0<x …4），FD ＝6-x ． 故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A CDF V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，A CDF V -有最大值，最大值为3.。