Ac sin(t )
式中，稳态输出的振幅和相位分别为
Ac R | G( j) |; G( j)
➢由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值 是和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅 的|G(jω)|倍，输出相位与输入相位相差∠G(jω)度。
3. 频率特性的定义
• 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输
出振幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。
A() Ac | G( j) | R | G( j) |
Ar
R
• 相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用
(ω)表示。
() [t G( j)] t G( j)
• 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
A()e j() | G( j) | e jG( j) G( j)
4.1 频率特性
1. 引例——RC电路 对于图4-1所示的RC电路，其传递函数为
Uo (s) 1（Cs) 1 Ui (s) R 1 (Cs) Ts 1
式中，T=RC 。
R
+
+
ui(t)
C
uoБайду номын сангаасt)
-
-
图4-1 RC电路
设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为
ui (t) U sin t
U Ui (s) s2 2
t 趋向于零
xos (t) ae jt ae jt
a
G(s)
R s2 2
(s
j)
s j
G(
j)
(s
R j)(s
j)
(s
j)
s j
G(
j)
R 2j
(4-5)
a
G(s)
R s2 2
(s
j) s j
G( j) (s
R j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)
R 2j
G( j) 是一个复数向量，因而可表示为
所以有
U
o
(s)
1 Ts
1
U s2
2
将其进行部分分式展开后再拉氏反变换
uo (t)
T
UT 22 1
t
eT
U sin(t ) T 22 1
arctanT
• uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim
t
uo
(t)
U sin(t ) 1 T 22
U
A() 1 1 1 jT 1 T 22
() 1 arctanT 1 jT
• 频率特性G(jω)：上述电路的稳态响应与输入正弦信 号的复数比，且G(jω) = G(s)|s=jω 。
• 幅频特性A(ω)：输出信号幅值与输入信号幅值之比。
• 相频特性(ω)：输出信号相角与输入信号相角之差。
2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
2. 频率响应、频率特性和频域分析法
– 频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分 量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦 信号的合成）
– 频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系， 它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。
– 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系 统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。
设系统的传递函数为 G(s) X o (s) U (s)
Xi (s) V (s)
已知输入 xi (t) Rsin(t) 其拉氏变换
Xi (s)
R s2 2
则系统输出为
Xo (s)
G(s)Xi (s)
U (s) V (s)
R s2 2
(s
p1)(s
U (s) p2)(s
pn
)
R s2
2
p1, p2 , pn G(s) 的极点 (4-1)
第四章 频率特性
（优选）控制工程基础第四章
引言
1. 为什么要对系统进行频域分析？ – 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统 的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处： 计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确 定主要因素； 不能直观地表现出系统的主要特征。
(4-6)
j
j
G( j) G( j) e G( j) G( j) G( j) e G( j)
(4-7)
xos (t) ae jt ae jt
R | G( j) | e j(tG( j)) e j(tG( j))
2j
e j e j sin
2j
R | G( j) | sin(t G( j))
– 频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统 的方法。
3. 频域分析法的优点
(1) 物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域 性能指标和时域性能指标有明确的对应关系；对于高 阶系统，可建立近似的对应关系。 (2) 可以用试验方法求出系统的数学模型，易于研究 机理复杂或不明的系统；也适用于某些非线性系统。 (3) 可以根据开环频率特性研究闭环系统的性能，无 需求解高次代数方程。 (4) 能较方便地分析系统中的参量对系统动态响应的 影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。 (5) 采用作图方法，计算量小，且非常直观。
对稳定系统
X o (s)
n i1
bi s pi
a s j
a s j
(4-2)
a, a和bi (i 1,2,n)
待定系数
n
X o (s)
n i 1
bi s pi
a s j
a s j
(4-2)
xo (t) ae jt ae jt bie pit
i1 (4-4)
因此，系统的稳态响应为：
Xo(s) G(s) 1
X i (s)
1 RCs
比较
X o ( j) G( j) 1 1
Xi ( j)
1 RCj 1 Tj
频率特性与传递函数具有十分相似的形式 G( j) G(s) s j
sp
传递 函数
微分 方程
1
1 jT
sin
t
1
1
jT
• 结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态 响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和 输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变 化取决于ω。
• 若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并
求其复数比，可以得到
G( j)
1
A()e j ()
• 式中
1 jT
– 工程方法要求： 计算量不应太大，且不因微分方程阶数的升高 而增加过多； 应 容 易 分 析 系 统 各 部 分 对 总 体 动 态 性 能 的 影 响 ， 易区分主要因素； 最好还能用作图法直观地表现出系统性能的主 要特征。
– 频域分析法:是一种间接的研究控制系统性能的工 程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性 是控制系统的又一种数学模型。