2007机械工程控制基础第四章习题答案第4章 频率特性分析4.1什么是系统的频率特性？答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。
系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。
4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。
求该系统的频率特性。
解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e AB j G =)( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t to ，试求系统的幅频特性与相频特性。
解：由已知条件得：s s X i 1)(=，98.048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：)9)(4(36)()()(++==s s s X s X s G i o 得系统频率特性：)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=，其中幅频特性为：22811636)()(ωωωω+⋅+==j G A相频特性为：9arctan4arctan)(ωωωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。
已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。
若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)22sin(π-=t x oss 。
试确定k 和c 。
解：由系统结构知系统的动力学方程为：)()()()(0t f t kx t x c t xm o o =++ 当m=1时，得系统传函为：kcs s s G ++=21)(，得系统频率特性为：ωωωjc k j G +-=21)(。
图（题4.6）)t)其中，幅频特性为2222)(1)(ωωωc k j G +-=，相频特性为2arctan)(ωωωϕ--=k c 由题意，当输入信号为t t f 2sin 2)(=时，2=ω，由其与稳态输出信号)22sin(π-=t x oss 对应关系知：2222)(121)(ωωωc k j G +-==，2arctan 2)(ωωπωϕ--=-=k c 解得4=k ，1=c 。
4.8设系统的闭环传递函数为1)1()(12++=s T s T K s G B ，当作用输入信号t R t x i ωsin )(=时，试求该系统的稳态输出。
解：系统的频率特性为)arctan (arctan 2122221212111)1()(ωωωωωωωT T j B e T T K jT jT K j G -⋅++=++= 则系统的稳态输出为)arctan arctan sin(1121212222ωωωωωT T t T T RKx oss +-++=4.9设单位反馈控制系统的开环传递函数为110)(+=s s G K ，当系统作用以下输入信号时，试求系统的稳态输出。
(1) )30sin()(0+=t t x i解：系统的闭环传递函数为：1110)(1)()(+=+=s s G s G s G K K B11arctan 2121101110)(ωωωωj B e j j G -⋅+=+=。
此题中，1=ω，得频率特性为：02.5122101110)(j B e j j G -⋅=+=ω，由此得：4.11 已知系统传递函数方框图如图所示，现作用于系统输入信号t t x i 2sin )(=，试求系统的稳态响应。
系统传递函数如下： （3）15)(+=s s G ,1)(=s H 解：65)()(1)()(+=+=s s H s G s G s G B ，得：6236565)(ωωωωj B e j j G -+=+=)8.24sin(905.0)2.530sin(12210)(0001+=-+=t t t x oss当2=ω时，)4.182sin(79.0)62arctan 2sin(405)(03-=-=t t t x oss 。
4.12试绘制具有下列传递函数的各系统的nyquist 图。
(6) )21)(5.01(1)(s s s G ++=；解：ωωωωωωω2arctan 5.0arctan 2241125.01)21)(5.01(1)(+-++=++=j e j j j G实频特性：222225.6)1(1)(ωωωω+--=u ，虚频特性： 22225.6)1(5.2)(ωωωω+--=v(8) )10016()1)(12.0(5.7)(2++++=s s s s s s G解：)10016arctan 90arctan 2.0(arctan 222222322242222220)16()100(21)2.0(15.7)100()16()1008.12.0(5.7)100(25615780)16100()1)(12.0(5.7)(ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω---++-++=-++---++=+-++=j ej j j j j j G显然，实频特性大于零，虚频特性小于零。
n4.15试绘出具有下列传递函数的系统的波特图。
（6）)12.0()10(5.2)(2++=s s s s G解：系统频率特性)12.0()()11.0(25)(2++=ωωωωj j j j G ，显然，系统由一个比例环节、两个积分环节、一个惯性环节(52.011==T ω)和一个微分环节(101.011==T ω)组成，故可用叠加法作出其bode 图如下：也可直接作出其bode 图，步骤如下：① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式，即各典型环节传递函数的常数项为1。
得：)2.01()()1.01(25)(2ωωωωj j j j G ++=。
②根据比例环节的K 值，计算K lg 20：95.3425lg 20lg 20==K③在半对数坐标系上，找到横坐标为ω＝1、纵坐标为K A lg 20)(1==ωω的点，过该点作斜率为—20νdB ／dec=40dB ／dec 的斜线，其中ν=2为积分环节的数目。
④计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变)(ωA 的斜率：若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB ／dec ；若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB ／dec ；若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB-40-20 20 40 00.010.1 110100)(lg 20ωj G dBω幅频特性-1800-900 000.010.1110100ω)(ωϕ相频特性900 25lg 20dec dB /40-5 dec dB /60-dec dB /40-dec dB /20- dec dB /20-／dec 。
此题中，52.011==T ω，101.012==T ω。
因)(ωA 在51==T ωω处过惯性环节，则斜率减去20dB ／dec ，成为-60dB ／dec ；)(ωA 在102==T ωω处过微分环节，则斜率增加20dB ／dec ，成为-40dB ／dec 。
⑤如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。
⑥对数相频特性曲线画法同前。
（8）)14.0)(104.0(650)(2++=s s s s G解：系统频率特性：)14.0)(104.0(650)(2++-=ωωωωj j j G显然，系统由一个比例环节、两个纯微分环节、两个惯性环节组成，故可用叠加法作出其bode 图。
115.24.01-==s T ω122504.01-==s T ω也可直接作bode 图，步骤略。
-40-2020 400.010.1 110100)(lg 20ωj G dB ω幅频特性 -900000.010.1 110100ω)(ωϕ相频特性900 650lg 20 dec dB /402.5 dec dB /2060251800 -40-20 2040 00.010.1 110100)(lg 20ωj G dBω幅频特性-1800-900 000.010.1 1 10 100ω)(ωϕ相频特性900 25lg 20dec dB /40-5dec dB /60- dec dB /40-4.19 已知单位反馈系统的开环传递函数为)11.0)(105.0(10)(++=s s s s G K ，试计算系统的r M 和r ω。
解：由题意知，1015.005.010)(1)()(23+++=+=s s s s G s G s G K K B 10)(15.0)(05.010)(23+++=ωωωωj j j j G B2322)05.0()15.010(10)()(ωωωωω-+-==j G A B令0)(==rd dA ωωωω并化简可得：0}])05.0()15.010[(10{'12322=-+--r r r ωωω得：0405.000015.024=-+r r ωω，7.662=r ω，1165.8-=s r ω故有：838.1)(===rA M r ωωω。