南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④．【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，即a ＝b ，于是e ＝2．【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m 3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可通过坐标法解决．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是 ．【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而daq＝2．【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是 ． 【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f ′(x )＝－34－1x 2， 切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2， 当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】53． 【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点， 所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是 ．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝ ． 【答案】6．【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是 ．ABNMDCBA【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)， 则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ． 【答案】4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ． 【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值． 结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为 ．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3， 易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a3)上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点； 当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518．【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题．二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)．所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13．于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x)＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x1＋tan 2x＝22·2×13＋1－(13)21＋(13)2＝7210． 【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值． 解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0． 由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12．因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3．（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ．因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂． 17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2） 解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．PA BCD由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ． V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ． 又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝156h ．因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255．即点C 到平面PBD 的距离为255．【说明】考查直线与平面位置关系的判断；考查空间几何体体积的计算，点到平面距离的计算．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°， 整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t －63)2＋36.由于0＜t ≤14，所以2t≥8，所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6.答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时. （2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )mt ＋v 2－64＝0设mt＝k ，0＜k ＜1， 则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v )2－4×192×(v 2－64)≥0，ABC岸边30°rr h解得0＜v ≤1633，当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633.答：小船的最大速度为1633千米/小时.【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题，其中第二问，需要注意的是：要能利用方程有解，求参数的最值． 19.某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值. 解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )，由于h ≥2r ，因此23(32r2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128πr ，定义域为(0，2].（2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1)r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立，此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小； 当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)， 当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0， 所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增， 所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小.综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m . 【说明】注意解决应用题时必要的讨论．20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000×0.98n －1．设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)， 因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25×105π(2n －1)×0.98n －1(千克)．（2）a n ＋1－a n ＝25×105π(2n ＋1)×0.98n －25×105π(2n －1)×0.98n－1＝25×105π[(2n ＋1)×0.98－(2n －1)]×0.98n －1＝25×105π(－0.04n ＋1.98)×0.98n －1．当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1， 当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1， 所以，当n ＝50时，a n 最大． 答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点． 解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498．（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k 2，从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2．由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4， 整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )， 即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ， 因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．解：（1）x 22＋y 2＝1．（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2，同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k)2＝42k 2＋22k 2＋1，于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32．②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k1＋2k 2， 所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)， 所以MN 的中点为T (12，0)，于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12×|k|1＋2k 2＝12×11|k |＋2|k|≤28， 当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28．【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23．已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程； （2）当x ∈[－1，1]时，求函数f (x )的最小值；（3）已知a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，求实数a 的取值范围． 解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0． （2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0， 所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3． 综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3； 当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0． 设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增， 所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0； 所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增． 所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意． 综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类．24．已知函数f (x )＝x －x ln x ，g (x )＝ax1＋x 2，a ∈R ． （1）当a ＞0时，求g (x )单调区间；（2）若a ＝2，设0＜n ＜m ＜1，证明：f (m )＞g (n )；（3）证明：关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解． 解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2，所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)． （2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增， 因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )， f (n )－g (n )＝n －n ln n －2nn 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n )设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0，所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0， 所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax1＋x 2， 因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解， 即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x ．设m (x )＝2x ln x －x ＋1x，因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0， 因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增， 从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增． 因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，则称数列{a n }具有性质P ． （1）若数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n }是否具有性质P ； （2）若正项等差数列{b n }具有性质P ，求数列{b n }的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d2)n ．又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d 2)n ]，即d2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d2)2mn ，因为上式关于m ，n 恒成立， 所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，解得d ＝0或d ＝2． （3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ， 因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2， c 3－c 2≤2， …… c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2， 又c 1＝1＝2×1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *． 因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1，所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2． 又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ，所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2×2m －1)＝k 2， 因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又c 1＝1＝2×1－1，所以c n ＝2n －1． 经检验c n ＝2n －1满足题设条件， 从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }为等差数列．证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋nm ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，a m ＋a n ＋a m －a nm －n ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n．（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n， ①在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n1＝2a n ＋1， ②由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1，令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12，于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)，在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3，于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 33＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， 从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注． 三．理科附加题27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．解：（1）16．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13×12×13＋23×12×13＋23×12×12＝13；P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为3错DCBA PE (ξ)＝0×16＋1×13＋2×718＋3×19＝139．【说明】本题考查独立事件的概率．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3,AB ＝23,BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →·AC →|PB →|·|AC →|＝77，即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77． （2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·→n ＝0PB →·→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)．又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，所以|→m ·→n|→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2． 经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3．【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ． （1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；（2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1， 则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1， 即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15， 猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1， 则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12 ＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1 ＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30．已知m ∈N *，数列T ：a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1满足如下条件： ①a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1是1，2，3，…，3m ＋1的一个全排列；②数列a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1的前n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)项和S n 均不能被3整除． （1）当m ＝1时，写出所有符合条件的数列T ； （2）求满足条件的数列T 的个数f (m )．解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定， 因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2． 数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法， 故满足条件的数列T 共有：C m 3m ×m !×m !×(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个， 因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!．【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。