2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s1 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
0
6 一行可同乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定
系统吗？稳定的充分条件:
• 综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。
✓ 解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，
A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0
y 2 2 0.586,
s1.2 j 0.586 j0.766
s3.4 j 3.414 j1.848
这相当于给系统加了一扰动信号。若 lim g(t) 0 ，则系统稳 t
定• 。 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根
都具有负实部. ➢判别系统稳定性的基本方法：
[S平面]
j
(1) 劳斯—古尔维茨判据 (2) 根轨迹法 (3) 奈奎斯特判据
稳定区域 不稳定区域
0
(4) 李雅普诺夫第二方法
2
8
4
s4
2
8
4 辅助多项式A
(s)的系数
A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：
s6
1
6 10 4
s52ຫໍສະໝຸດ 84s42
8
4
s3
8 16
dA(s)/ds的
系数
s2
4
4
s1
8
• 第一列元素全为s正0 ，系统4 并非不稳定；
• 阵列出现全零行，系统不是稳定的；
➢注意两种特殊情况的处理：
2
4
0
13
15
2
4 1 2
0 5
2
2
24
15 6
1 15
0 第一列数据不同号，
6
0 5
系统不稳定性。
6
1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用 因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正 数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。
2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个 辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。
设系统特征方程为： 劳斯表特点及第一种特殊情况
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7
=0
s1
表劳
6s 2 5s 1
35 44 6 22 7
7
劳斯表(-(=68特1-2(11604点－-)/461)=/)2/=2
斯
s4 0ε7 -
1 右移一位降两阶
ε s3
s2
2ε8+8 87ε -8(2 +8)7ε-2
s2 02
继续计算劳斯表
s1 1
劳斯0 表出现零行
1 2
劳出系现斯统表零一何行定时怎不会么出办稳现?定零行?
3 如何求对称的根?
第一列全大于零,所以系统稳定
③ 解辅助错方啦程得!!对!称根:
s1,2=± j
由综合除法可得另两
个根为s3,4= -2,-3
例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据 判断系统的稳定性。
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6
特征根时会出现零行
表
=0s 劳 s4
1 51
7 51
6
② 由零行的上一行构成
辅助方程:
s2+1=
斯 s3 61 61
对其求0导得零行系数: 2s1
s0 an
• 当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，
如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符
号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。
例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据
判别系统稳定性。
解：列出劳斯表 s 4
1
3
5
s3 s2 s1 s0
2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。
3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭 环零点有关。 •分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。
2) 忽略偶极子的影响。
例 如 ： (s)
(s
10 5)(s2 1.5s
2)
5( s
10 1)(s2 1.5s
2)
2. 劳斯判据
• 劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：
sn a0
a2
a4
sn1 a1
a3
a5
s n2
c13
a1a2 a0a3 a1
c 23
a1a4 a0a5 a1
c 33
a1a6 a0a7 a1
s n3
c14
c13a3 a1c23 c13
c 24
c13a5 a1c33 c13
c 34
c13a7 a1c43 c13
ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：
2.0
1.8
c(t)
1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
3.3.5 高阶系统的时域分析
•特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。
'(s)
s2
2 1.5s
2
52 (s 0.75 j1.2)( s 07.5
j1.2)
j
c(t)
p1
-5
p2 j1.2 -50p.73 0-j1.2
t
(a)闭环极点分布图
(b)单位阶跃响应曲线
3.4 稳定性分析
3.4.1 线性系统的稳定性概念
系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失 之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结 构、参数决定，与初始条件及外作用无关。 • 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，
解：列出劳斯表 s4
1
1
2
s3
2
2
0
s2
(取代0) 2
s1
2-4/
可见第一列元素的符号改s变0 两次，故系2统是不稳定的且在S
右半平面上有两个极点。
例3.6 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0； 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：列出劳斯表
s6
1
6 10 4
s5