利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
( z 1 ) R ( z ) e ( ) lim e ( t ) lim ( z 1 ) E ( z ) lim t z 1 z 11 G ( z )
*
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。
化简后，得W域特征方程
0 . 632 kw 1 . 264 w ( 2 . 736 0 . 632 k ) 0
2
列出劳斯表
w 0 .632 k 2 .736 0 .632 k 1 w 1 .264 0 0 w 2 .736 0 .632 k 0
2
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统 稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。
系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实 际值之差。即： 误差e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值
设单位反馈采样系统如图8-26所示：
图8-26 单位反馈采样系统
( t ) r ( t ) b ( t ) 误差 e
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含 暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统， 暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关 心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应 的稳态分量——稳态误差记为ess。
§8.6
8.6.1
8.6.2
采样控制系统的稳定性分析
采样系统的稳定条件
劳斯稳定判据
ห้องสมุดไป่ตู้8.6.3
8.6.4
朱利稳定判据（以大家自学为主）
采样周期与开环增益对稳定性的影响
§8.6
采样控制系统的稳定性分析
8.6.1 采样系统的稳定条件
问题的提出！
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据 特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的 所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分 析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相 互关系。
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W
平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图8-22：Z平面和W平面的对应关系
离散系统稳定的充要条件，由特征方程 1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单 位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有 根严格位于左半W平面。
( 3 . 214 0 . 017 k ) 0
由劳斯判据KC=4.37
讨论！
(2)
C ( z ) G ( z ) ( z ) R ( z ) 1 G ( z )
T T T K [( e T 1 ) z ( 1 e Te )]
2 T T T T T z [ K ( e T 1 ) ( 1 e )] z [ K ( 1 e Te ) e ]
z 且由 R( z ) ，可求得C(z)表达式 。 z 1
取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得 到c(kT)，见图8-25。
讨论！
图8-25 不同T时的响应
§8.7
引 言 8.7.1 8.7.2 8.7.3
采样系统的稳态误差
单位阶跃输入时的稳态误差 单位斜坡输入时的稳态误差 单位加速度输入时的稳态误差
差分方程 开环脉冲传递函数 G ( z ) 闭环脉冲传递函数 ( z ) 建模
稳定的概念复习

如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏 离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐 渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具
有稳定性。

如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远， 则称系统是不稳定的或不具有稳定性。
（2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差
8.7.1
单位阶跃输入时的稳态误差
1.系统的类型（型别）
与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于 z esT 的关系，原线性 连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作 为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环 脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系 统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II 型离散系统。
图8-24 例3离散系统方框图
解:(1)
1 k G ( z ) ( 1 z ) Z 2 S(S 1)

T T t) ( e T 1 ) z ( 1 e Te k T ( z 1 )( z e )
2 当T＝1秒时D ( z ) z ( 0 . 368 k 1 . 368 ) z ( 0 . 264 k 0 . 36 )
几种情况讨论
半径 : r e T :θ T 幅角
r 1 ，即 。 z 1 θ 0
σ 0 （1）s平面的虚轴 ， z平面 0 ~
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 （2 ） s平面
0
0 0
为常数 :
§8.6 采样控制系统的稳定性分析
相关知识及上次课内容回顾：
1、自动控制原理：是关于自动控制系统建模、分析 与设计的一套完整的理论。
2、分析控制系统的性能指标：稳、快、准。
稳：指控制系统的稳定性。 快：指控制系统的快速性。 准：指控制系统的准确性。
前面几次课中主要是针对采样控制系统的 数学模型进行了讨论。
一．z平面与s平面的映射关系
在引入 z变换的定义时，引入符 号 z e
sT
,s 关系 z e s ( 直角坐标 ) ： s j z
代入 比较
j z ( 极坐标 ) ： z r e
sT
( σ j ) T Tj T z e e e
T 半径 :r e 所以 幅角 :θ T
稳 定 系 统
不稳定系统
几点注意：
1、稳定性是控制系统的重要性能，是系统 正常工作的首要条件。
2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只 取决与系统的结构参数，与系统的输入
无关。
线性连续系统稳定判据复习

劳斯判据 赫尔维茨判据 根轨迹法 Nyquist稳定判据 对数频率稳定判据
稳定性是控制系统的一种固有特性，只取 决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系 统的输入无关。 影响采样系统稳定性的因素有哪些？ 1、开环增益K; 2、系统的零极点分布； 3、纯滞后环节； 4、采样周期T的取值。
例3 设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示， 试求：
（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界 开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s 时，系统的输出响应c(kT)。
8.6.3
朱利稳定判据(以大家自学为主)
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类 似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系 数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而 判断该离散系统的稳定性。
8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
2 2 x jy 1 x y 1 2 y w j 2 2 2 2 x jy 1( x 1 ) y ( x 1 ) y
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足：
x y 1
2 2
x2 y2 1 u 0 2 2 (x1 ) y
闭环系统脉冲传递函数为 (z) G(z) 故闭环系统特征方程为
2
1 G(z)
1 G ( z ) z ( 0 . 632 k 1 . 368 ) z 0 . 368 0 w 1 令z 代入上式，得 w 1
w 1 w 1 2 ( ) ( 0 . 632 k 1 . 368 )( ) 0 . 368 0 w 1 w 1
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的
单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新
的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
z 1 w 1 或 w z z 1 w 1
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
相加的形式，即
z x jy w u jv

控制系统设计时应尽可能减小稳态误差； 当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认 为系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统， 而稳态误差不为零的系统则称为有差系统； 应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的 稳态误差才有意义！！


采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！！
1、误差及稳态误差的定义
例1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为： C ( z ) ( z 0 . 6 )( z 0 . 16 ) ( z ) R ( z ) ( z 0 . 1 )( z 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )
问题的提出
8 7 6 5 4 32
z 3 z 6 z 8 z 8 z 2 z z 9 0
用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的
稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实
用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判
据就是劳斯判据。
8.6.2
劳斯稳定判据
对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分 析系统的稳定性。 但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据 是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根 是否在复变量s平面虚轴的左半部。
§8.7
采样系统的稳态误差
引 言