动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
电离
电解
条件 电解质溶于水或 电解质电离后，
受热融化状态
再通直流电
过 程
电解质电离成为自 由移动的离子。 CuCl2=Cu2++2Cl-
阴阳离子定向移动， 在两极上失得电子成 为原子或分子。
通电
CuCl2==Cu+Cl2 ↑
已知动点M的坐标(x0 , y0)， 即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)， 再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即 得所求.
6.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1，0)作弦，求诸弦中
【解题回顾】解一求出
x0
9k 2 9k 2
4 后不必求y0，直接
利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的
轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
小结
一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵
活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方
程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求 轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
5. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点)， 作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程.
【解题回顾】再次体会相关 点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式
(即含有x、y的表达式)表示
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
典型例题选讲
一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个
端点设为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 并代入圆锥曲线方程，
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 32 3 x 4 y - 1 则点M轨迹是
( D)
5
(A)圆
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
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6.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 点的轨迹方程是_____X__2_=_-2_y_-_2_
7.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
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2.在△ABC中，已知B(-3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，
△ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为1/8.
(1)求点H的轨迹方程； (2)设P(-1，0)，Q(1，0)那么 数列吗?为什么?
1 HP
，1 PQ
， 1 能成等差 HQ
【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知
条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等
特 只产生自由移动 发生氧化还原反应
点 的离子
生成了新物质
联系
电解必须建立在电离的基础上
小结2 原电池和电解池知识总结比较表
内容
原电池
电极 较活泼金属做负极 规定
电极 负极发生氧化反应 反应
电子移 动方向
负极流向正极
能量 转变
化学能变为电能
电解池 阴极：连接电源负极 的一极 阳极氧化、阴极还原
阳极流向阴极
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是____y_=_0_(_x_≥_1_)___.
2.已知O→P与O→Q是关于y轴对称，且2O→P·O→Q=1，则点P(x、y)
的轨迹方程是_________-2_x_2_+_y_2_=_1______
两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可
用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时
较为简便，但是要注意这样的弦的存在性
7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB， 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程.
【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、
OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程.
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延伸·拓展
1.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离 之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围.
【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情 况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间 的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得λ 的范围
阳极：4OH—-4e—=O2↑+2H2O 阴极：4H++4e—=2H2↑
阳极2Cl—-2e— =Cl2↑ 阴极：4H++4e—=2H2↑
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。