轨迹方程的求法
求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握 的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。
轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种 条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间 的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨 迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件， 通过“解析化”将其转化为代数方程。
例5：设圆C：(x-1)2 + y2 =1，过原点O作圆的任意弦， 求所作弦的中点的轨迹方程。
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
求动点轨迹方程的几种常用方法： 1.直接法；2.定义法；3.代入法（转代法）； 4.待定系数法；5.参数法；6.交轨法。
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只 须把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于 这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称 之为直接法。
OQ 2
分析：这是主动点和被动点问题，设法用P点坐标来表示Q点坐标，问题
便可迎刃而解。
解：设Q（x0，y0），P（x，y），由OO
P Q
3 2
且P在OQ的延长线上，
得 OP 3
x 3x0 13
PQ
由定比分点坐标公式得：
y 3 y0 13
x0
2 3
x
y0
2 3
y
又点Ｑ(2在y抛)2 物 线4y22＝x4x 上，
得b2 8 ∴椭圆方程为 x 2 y 2 1
16 8
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
若动点P（x，y）中坐标x、y之间的关系难以找 出，可引进参数t，用t分别表示x、y（即x=f(t)， y=g(t)），再由两式消去t，便得到所求曲线的普通方程。
解：设点P的坐标（x0，y0），则Q（x0，-y0），
直线PF1的方程：y y0 (x 2) ---- ①
x0 2
直线QF2的方程：y
y0 x0 2
(x
2)
---- ②
①②联立，解得
x0
4x,y0
2y x
将上面结果代入
x02 3
y02
∴c2 = a2 +(2a-c)2 ∴e＝ c 5
a4
又双曲线过点A（1，2），y轴为右准线，由双曲线定义得：
A F （ ed为点A到y轴的距离） 即
d
(x1)2(y2)2 5 4
两边平方并整理得右焦点F的轨迹方程为
(x-1)2＋(y-2)2 =（x>0）
2006届高中数学专题复习·轨迹方程的求法
三、代入法 若动点P（x，y）随已知曲线f（x，y）= 0上的动 （转代法） 点Q(x′,y′)的变化而变化，则用P点坐标 x，y来
表示Q点的坐标x′，y′，将它代入已知曲线方程f（x，y）=
0，便得到所求的曲线方程。
例3：设点Q是抛物线y2＝4x上的动点，点O是原点，点P在OQ的延长线
上，O 且P 3 = ，当点Q在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，F2是双曲线
x2 3
y2
1 ，的两个焦点，垂直于x轴的直线交
双曲线于P、Q两点，求直线PF1和QF2的交点M的轨迹方程，并说明这是什
么曲线。
分析：M是动直线PF1和QF2的交点，用交轨法。
例1：已知A（-2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率乘积
为k（k≠0），（1）求点P的轨迹方程；（2）讨论点P的轨迹类型。
分析：直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。
解：（1）设点P的坐标为（x，y），则
y y = k，即kx2－y2= 4k（x≠±2）
x2 x2
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
4 4k
当k>0时，点P的轨迹为双曲线，除去两顶点（±2，0）；
当k<0且k≠-1时，点P的轨迹为椭圆，除去两顶点（±2，0）；
当k=-1时，点P的轨迹是圆，除去两点（±2，0）。
·轨迹方程的求法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义
（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可以根据定义直接求
解：由e＝ 2 2
得a2＝2b2，设椭圆方程为 x 2
2b 2
y2 b2
1
，设A（x1，y1），
B（x2，y2），x 1 x 2 4
－－－－－－－①
y 1 y 2 2 －－－－－－－②
则有：
x12 2b2
y12 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
－－－－－－－③
x 22 2b2
y 22 b2
1
－－－－－－－④
③－④得 ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) ( y 1 y 2 ) 0将①、②代入
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
· 轨迹方程的求法
即：y x3 将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0