Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任 为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究 数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 由上述公式推导斐波那契数列的通项公式
α+β=p; αβ=ห้องสมุดไป่ตู้ 若α≠β， an-αan-1=βn-2(a2-αa1) 因α、β对称，同样有 an-βan-1=αn-2(a2-βa1) 联立上述两式 βan-αβan-1=βn-1(a2-αa1) αan-αβan-1=αn-1(a2-βa1) 相减得到 (β-α)an=βn-1(a2-αa1)-αn-1(a2-βa1) 于是得到
当α=β，及特征方程有重根时 an-αan-1=αn-2(a2-αa1)
等式两边都除以αn，得到
an an-1 a2-αa1 αn -αn-1 = α2
an
a1
a2-αa1
即变为求等差数列｛αn ｝的问题，最后求得 an=αn[ α +(n-1) α2 ]
二阶线性递归的典型——斐波那契数列 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元 1170 年， 卒于 1240 年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202 年，他撰写了《珠算原理》（Liber
由此可以看出来斐波那契数列一个典型的性质：
lim
������⟶+∞
������������ ������������+1
=
√5 − 2
1
1+ 5 1- 5
由递归式 an+1=an+an-1，特征方程即为 x2=x+1，解得特征方程的两个根为 2
及2
1+ 5
1- 5
5
5
通项公式即为 an=A( 2 )n+B( 2 )n，代入斐波那契数列的 a1=a2=1，解得 A= 5 ，B=- 5
即斐波那契数列的通项公式为
5 1+ 5
1- 5
an= 5 [( 2 )n- ( 2 )n]
二阶线性递归与特征根法 所谓二阶递归，即是指数列的一项是由其前两项所决定的，线性递归则是指递归式的次数为一次。 现在对这种类型的线性递归做一般性讨论 已知 an=pan-1+qan-2，a1,a2 给定 求 an. 解: 设α、β使
an-αan-1=β(an-1-αan-2) 则 an=(α+β)an-1-αβan-2 于是
βn-1(a2-αa1)-αn-1(a2-βa1)
an=
β-α
a2-αa1 a2-βa1 =β(β-α) βn-α(β-α) αn
即得到特征根法的结果： an=Aαn+Bβn，
常数 A,B 可由待定系数法由给定的 a1，a2 解出，α，β则为与递归式 an=pan-1+qan-2 对应的特征方程 x2=px+q 的两根