第（1）次课授课时间（）基本内容 备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221a b a b -,这就是公式（2）中1x 的表达式的分子。

同理将D 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b 1,b 2 ,可得到另一个行列式,用字母2D 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211b a b a -,这就是公式（2）中2x 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D 例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表 333231232221131211a a a a a a a a a记333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义 在n 阶行列式中，把元素ij a 所处的第i 行、第j 列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n 阶行列式，称为ij a 的余子式，记为ij M ；而ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式.引理 如果n 阶行列式中的第i 行除ij a 外其余元素均为零，即：nnnjn ijn j a a a a a a a D1111100=.则：ij ij A a D =.证 先证简单情形： nnn n n a a a a a a a D212222111=再证一般情形：定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行： ()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列： ()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 ：3351110243152113------=D .解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应数余子(i ≠=0第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容 备注第一节 矩阵一、矩阵的定义 称m 行、n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211为n m ⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211或简记为n m ij a A ⨯=)(,或)(ij a A =或n m A ⨯；其中ij a 表示A 中第i 行，第j 列的元素。

其中行列式mnm m nna a a a a a a a a212222111211D =为按行列式的运算规则所得到的一个数；而n m ⨯矩阵是 n m ⨯个数的整体,不对这些数作运算。

例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。

设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(都是n m ⨯ 矩阵，当则称矩阵A 与B 相等,记成B A =。

二、特殊形式n 阶方阵： n n ⨯ 矩阵行矩阵 ：n ⨯1矩阵（以后又可叫做行向量），记为),,,(,21n a a a A =列矩阵 ：1⨯m 矩阵（以后又可叫做列向量），记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21零矩阵 ：所有元素为0的矩阵,记为O对角阵 ：对角线元素为n λλλ,...,,21,其余元素为D 的方阵，记为单位阵 ：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 E三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量m y y y ,...,,21能用变量n x x x ,...,,21线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nmn m m m n n nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 这里ij a ()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==为常数。

这种从变量n x x x ,...,,21到变量m y y y ,...,,21的变换称为线性变换。

线性变换由m 个n 元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。

上式的系数可构成一个n m ⨯矩阵()()ij n m ij mn m m n n a a a a a a a a a a a A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯ 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称之为线性变换的系数矩阵。

线性变换和系数矩阵是一一对应的。

如,直角坐标系的旋转变换（变量),(y x 到变量),(y x ''的变换）⎩⎨⎧+-=+=y x y yx x θθθθcos sin 'sin cos ' 的系数矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . 恒等变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mmx y x y x y 2211 的系数矩阵为例. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111E 同样，齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与系数矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，也是一一对应的.非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A21212222111211也是一一对应的。

第二节 矩阵的运算一、加法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(,都是n m ⨯矩阵,则加法定义为第（6）次课授课时间（）。