大学物理上海交大第四版-下册课后题全部答案习题11 11-1直角三角形ABC的A点上有电荷C108.191qB点上有电荷C108.492q试求C点的电场强度设0.04mBC0.03mAC。

解1q在C 点产生的场强11204ACqEir 2q在C点产生的场强22204BCqEjr ∴C 点的电场强度44122.7101.810EEEij C点的合场强224123.2410VEEEm 方向如图1.8arctan33.733422.7。

11-2用细的塑料棒弯成半径为cm50的圆环两端间空隙为cm2电量为C1012.39的正电荷均匀分布在棒上求圆心处电场强度的大小和方向。

解∵棒长为23.12lrdm ∴电荷线密度911.010qCml 可利用补偿法若有一均匀带电闭合线圈则圆心处的合场强为0有一段空隙则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去md02.0长的带电棒在该点产生的场强即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1利用微元积分201cos4OxRddER∴2000cos2sin2444OdEdRRR10.72Vm 解法2直接利用点电荷场强公式由于dr该小段可看成点电荷112.010qdC 则圆心处场强11912202.0109.0100.7240.5OqEVmR。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状设电荷均匀分布电荷线密度为四分之一圆弧AB的半径为R试求圆ji2cmORx心O点的场强。

解以O为坐标原点建立xOy坐标如图所示。

①对于半无限长导线A 在O点的场强有00coscos42sinsin42AxAyERER ②对于半无限长导线B在O点的场强有00sinsin42coscos42BxByERER ③对于AB圆弧在O点的场强有20002000cossinsin442sincoscos442ABxAByEdRREdRR ∴总场强04OxER04OyER得04OEijR。

或写成场强22024OxOyEEER方向45。

11-4一个半径为R的均匀带电半圆形环均匀地带有电荷电荷的线密度为求环心处O点的场强E。

解电荷元dq产生的场为204dqdER 根据对称性有0ydE则200sinsin4xRdEdEdER02R 方向沿x轴正向。

即02EiR。

11-5带电细线弯成半径为R的半圆形电荷线密度为0sin式中0为一常数为半径R与x轴所成的夹角如图所示试求环心O处的电场强度。

解如图0200sin44ddldERR oRXYddqEd xyEcossinxydEdEdEdE考虑到对称性有0xE∴200000000sin1cos2sin4428yddEdEdERRR 方向沿y轴负向。

11-6一半径为R的半球面均匀地带有电荷电荷面密度为求球心O处的电场强度。

解如图把球面分割成许多球面环带环带宽为dlRd所带电荷2dqrdl。

利用例11-3结论有3322222200244xdqrxdldExrxr∴322202cossin4sincosRRRddERR 化简计算得20001sin2224Ed∴04Ei。

11-7图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板电荷体密度为。

求板内、外的场强分布并画出场强随坐标x变化的图线即xE图线设原点在带电平板的中央平面上Ox轴垂直于平板。

解在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S为高斯面当2dx时由12SEdSES和2qxS 有0xE 当2dx时由22SEdSES和2qdS 有02dE。

图像见右。

11-8在点电荷q的电场中取一半径为R 的圆形平面如图所示平面到q的距离为d试计算通过该平面的E的通量. 解通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。

xOr02dxE02d2d2dO【先推导球冠的面积如图令球面的半径为r有22Rdr 球冠面一条微元同心圆带面积为2sindSrrd ∴球冠面的面积200cos2sin2cosdrSrrdr 221drr】∵球面面积为24Sr球面通过闭合球面的电通量为0q闭合球面由SS球冠球面球面球冠∴220011122dqqdrRd球冠。

11-9在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电电荷体密度为ρ求圆柱体内、外的场强分布并作Er关系曲线。

解由高斯定律01iSSEdSq内考虑以圆柱体轴为中轴半径为r长为l的高斯面。

1当rR时202rlrlE有02Er 2当rR时202RlrlE则202RrE 即02022rrRERrRr 图见右。

11-10半径为1R和2R21RR的两无限长同轴圆柱面单位长度分别带有电量和试求11Rr221RrR32Rr处各点的场强。

解利用高斯定律01iSSEdSq内。

11rR时高斯面内不包括电荷所以10E 212RrR时利用高斯定律及对称性有202lrlE则202Er dxOrsinrErR02Ro32rR时利用高斯定律及对称性有320rlE则30E 即112020�0�320ErRErRrRrErRE。

11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷若保持电荷分布不变在该球体中挖去半径为r的一个小球体球心为O两球心间距离dOO如图所示。

求1在球形空腔内球心O处的电场强度0E 2在球体内P点处的电场强度E设O、O、P三点在同一直径上且dOP。

解利用补偿法可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。

1以O为圆心过O点作一个半径为d的高斯面根据高斯定理有13043SEdSd003dE方向从O指向O 2过P点以O为圆心作一个半径为d的高斯面。

根据高斯定理有13043SEdSd103PdE方向从O指向P 过P点以O为圆心作一个半径为d2的高斯面。

根据高斯定理有23043SEdSr32203PrEd ∴1232034PPrEEEdd方向从O指向P。

11-12设真空中静电场E的分布为Ecxi式中c为常量求空间电荷的分布。

解如图考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面有0SEdScxS 由高斯定理01SSEdSq内yxzSo0x设空间电荷的密度为x有0000xxSdxcxS∴00000xxxdxcdx可见x为常数0c。

11-13如图所示一锥顶角为的圆台上下底面半径分别为1R和2R在它的侧面上均匀带电电荷面密度为求顶点O的电势以无穷远处为电势零点解以顶点为原点沿轴线方向竖直向下为x轴在侧面上取环面元如图示易知环面圆半径为tan2rx 环面圆宽cos2dxdl 22tan2cos2dxdSrdlx 利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上0x处电势的表达式220014qUrx环有22002tan2cos12tan422tan2dxxdUdxxx 考虑到圆台上底的坐标为11cot2xR22cot2xR ∴U210tan22xxdx21cot2cot02tan22RRdx2102RR。

11-14电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内试求离球心r处rRP点的电势。

解利用高斯定律01SSEdSq内可求电场的分布。

1rR时32304QrrER内有304QrER内2rR时204QrE外有204QEr外rxcos2dxdlPrRPo离球心r处rR的电势RrrRUEdrEdr外内即320044RrrRQrQUdrdrRr2300388QQrRR。

11-15图示为一个均匀带电的球壳其电荷体密度为球壳内表面半径为1R外表面半径为2R设无穷远处为电势零点求空腔内任一点的电势。

解当1rR时因高斯面内不包围电荷有10E 当12RrR时有203132031323434rRrrRrE 当2rR时有20313220313233434rRRrRRE 以无穷远处为电势零点有21223RRRUEdrEdr2RdrrRRdrrRrRR203132203133321221220RR。

11-16电荷以相同的面密度分布在半径为110rcm和220rcm的两个同心球面上设无限远处电势为零球心处的电势为V3000U。

1求电荷面密度2若要使球心处的电势也为零外球面上电荷面密度为多少212120mNC1085.8 解1当1rr时因高斯面内不包围电荷有10E 当12rrr时利用高斯定理可求得21220rEr 当2rr时可求得2212320rrEr ∴212023rrrUEdrEdr2122221122200rrrrrrdrdrrr210rr 那么2931221001085.810303001085.8mCrrU 2设外球面上放电后电荷密度则有0120/0Urr∴122rr 1rO2r则应放掉电荷为22223442qrr1243.148.85103000.296.6710C。

11-17如图所示半径为R 的均匀带电球面带有电荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线电荷线密度为长度为l细线左端离球心距离为0r。

设球和线上的电荷分布不受相互作用影响试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能设无穷远处的电势为零。

解1以O点为坐标原点有一均匀带电细线的方向为x轴均匀带电球面在球面外的场强分布为204qErrR。

取细线上的微元dqdldr有dFEdq∴0020000�0�344rlrqqlrFdrxrrl�0�3r为r方向上的单位矢量2∵均匀带电球面在球面外的电势分布为04qUrrR为电势零点。

对细线上的微元dqdr所具有的电势能为04qdWdrr ∴000000ln44rlrrlqdrqWrr。

11-18. 一电偶极子的电矩为p放在场强为E的匀强电场中p与E之间夹角为如图所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180外力需作功多少解由功的表示式dAMd 考虑到MpE有sin2cosApEdpE。

11-19如图所示一个半径为R的均匀带电圆板其电荷面密度为0今有一质量为m电荷为q的粒子q0沿圆板轴线x轴方向向圆板运动已知在距圆心O也是x轴原点为b的位置上时粒子的速度为0v求粒子击中圆板时的速度设圆板带电的均匀性始终不变。

解均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x处产生的电势为220002URxx那么2202ObObUUURbRb 由能量守恒定律222220*********ObqmvmvqUmvRbRb 有22020bRbRmqvv 思考题11 11-1两个点电荷分别带电q和q2相距l试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零答由2200244qQqQxlx解得21xl即离点电荷q 的距离为21l。

11-2下列几个说法中哪一个是正确的A电场中某点场强的方向就是将点电荷放在该点所受电场力的方向B在以点电荷为中心的球面上由该点电荷所产生的场强处处相同C场强方向可由q/FE定出其中q为试验电荷的电量q可正、可负F为试验电荷所受的电场力D以上说法都不正确。

答C 11-3真空中一半径为R的的均匀带电球面总电量为qq0今在球面面上挖去非常小的一块面积S连同电荷且假设不影响原来的电荷分布则挖去S后球心处的电场强度大小和方向. 答题意可知204qR利用补偿法将挖去部分看成点电荷有204SER方向指向小面积元。