习 题 四4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力9800400x F -=。

开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。

[解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知2022121mv mv A -=其中⎰⎰-==L L dx xFdx A 00)98000400(940004002L L -= 而00=v ， 所以有：22300002.05.094000400⨯⨯=-L L化简可得： m45.00813604002==+-L L L即枪筒长度为。

4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。

质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为()121220-=-πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。

由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2)法向 R v m N 2= (3)联立上述三式解得 Rv a 2t μ-=又 svv t s s v t v a d d d d d d d d t ===所以 Rv s v v 2d d μ-= 即 s Rv vd d μ-=两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得0ln ln v s Rv +-=μ即 s Re v v μ-=0由动能定理 2022121mv mv W -=，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 ()121212122020220-=-=--πμπμe mv mv e mv W R R4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。

已知TtF F π2sin0=，方向与直线平行。

求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。

[解]由冲量的定义⎰=12d t tt F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即⎰=12d t tt F I(1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ⎰==Tt F I 01d ⎰-=TTT t T F t T t F 000]2cos [2d 2sinπππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 ππππ0000002222]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I TT T=-===⎰⎰(3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -=当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0==又由动能定理，力F 所作的功m F T m F mT mv mv mv A 220222202220222212121ππ===-=(4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。

总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。

4-4 如图所示，将质量为 m 的球，以速率1v 射入最初静止于光滑平面上的质量为M 的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。

假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?[解] 设地球和弹簧枪的共同速度为2v ，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有()21v M m mv += (1)把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量()22212121v M m mv W +-=(2) 联立以上两式得 ()()2122212121v M m m M m mv W ++-= 212212121v M m m mv +-= ()M m mMv M m m mv +=⎪⎭⎫⎝⎛+-=212121214-5 角动量为L ，质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。

[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以v r ⊥，由()v r L m ⨯=知，rmv L = rmLv =所以卫星的动能 mr L rm L m mv E 2222k 212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛== 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：22n rGMmr v m F ==所以 rGMmmv E 2212k ==又 rGMmE -=p所以 22k p 2mr L E E -=-=所以 22p k 2mrL E E E -=+=4-6 已知某人造卫星的近地点高度为1h ，远地点高度为2h ，地球的半径为e R 。

试求卫星在近地点和远地点处的速率。

[解] 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即恒量=L 。

在近地点和远地点速度方向与轨道半径方向垂直。

故 ()()22e 11e mv h R mv h R +=+ (1)设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为1e h R GMm+－和2e h R GMm+－，由机械能守恒定律得2e 221e 212121h R GMm mv h R GMm mv +=+－－ (2) 在地球表面附近有mg R GMm=2e (3) 联立以上三式解得 ()()()21e 1e 2e e122h h R h R h R g R v ++++= ()()()21e 2e 1e e222h h R h R h R g R v ++++=4-7 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。

试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。

[解] 万有引力 0221r F rm m G-=两质点间的距离由x 增加到d x x +=1时，万有引力所作的功为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-=⋅=⎰⎰++112122111d d 1111x d x m Gm r m m GA dx x dx x r r F故外力所作的功()d x x dm Gm d x x m Gm A A dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅=-='⎰+1121112111d 11r F 此题也可用功能原理求： Λ＝外p E E A ∆=∆=4-8 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r k f =，k 为常数。

若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

[解]由势能的定义知r 处的势能p E 为:⎰⎰⎰∞∞∞==⋅=rrrr r k r f E d d d 3p r f 22221rkr k r=-=∞4-9 如图所示，有一门质量为M (含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。

当滑到距顶端为l 时从炮口沿水平方向射出一发质量为m 的炮弹。

欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v 应是多大?[解] 大炮从静止滑动距离L 的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。

设末态大炮的速度为V '，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得2/sin 2v m MgL '=α (1)大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为v ， 沿斜面方向的分量为αcos v ，又因炮车末态静止，则αcos mv v M =' (2)由(1)、(2)两式得ααααcos sin 2cos sin 2 m gL M m v M v gL v ='=='4-10 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。

求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。

[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：212101020p k )()]([R R R R Mm G R MmG R Mm G E E -=----=∆-=∆4-11 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成()612p x bx a x E -=，式中a 、b 为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。

(1)x 为何值时()0p =x E ?x 为何值时()x E p 为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x 轴运动，试述可能发生的运动情况。

[解] (1) 当()x E p =0时，有：0612=-xbx a 即 b ax =6 或 016=x故 0)(p 161=∞→=）（时，或x E x b a x p E (x )为极小值时，有0d )(d p =x x E 即 0612713=+-x bx a所以 ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=26121x b a x 或(2)设两原子之间作用力为()x f ，则)(grad )(px E x -=f在一维情况下，有713p 612d )(d )(x b x a xx E x f -=-= (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x <x 时，两原子间的作用f (x )>0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x >x 时f (x )<0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x <x时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。

如此循环往复。

若开始时两原子离得很远，则f (x )趋于零，两原子互不影响。

4-12 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。

若在0r r =处释放质子，问：(1)在离开大原子核很远的地方，质子的速率为多大? (2)如果在02r r =处释放质子呢?[解] 当∞→r 时，0p =E ，将原子核和质子看作一个系统，可忽略重力作用，则在原子核的引力场中，系统的能量守恒，故()r E E p k =∞，又2p k 21v m E =∞，其中p m 为质子的质量，kg 10673.127p -⨯=m ，得到 ()pp p k 22m r E m E v ==∞ (1) 0r r =时，()J 1010602.140.0MeV 40.06190p ⨯⨯⨯==-r E 所以 s m 1075.810673.11010602.140.026276191⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--v(2) 02r r =时，()J 1010602.112.0MeV 12.026190p ⨯⨯⨯==-r E所以 s m 1079.410673.11010602.112.026276191⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--v4-13 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势()000p r r e r r E r E -⎪⎭⎫⎝⎛-=来表示，式中0E 约为50MeV ，0r 约为m 105.115-⨯。