二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；?(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边 C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且 cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、 C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点 A ，但不过点 B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师． y y yl 2 l 1l 2A A A1 B 1 C B x 1 BO x O O 1x1 1 图① 图② 图③ 解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如 y x2 1， y x 2 x ， y( x 1)2 2 或 y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 1 2) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2 bxc ，y l 2 Q 点 A(12)， ， B(31)， 在抛物线 l 2 上，KGA 1 b c ， b 9 ，2 29 3b c 解得 11 1c. 2抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2 9 x 11 ．2 29 x 11 9 27 ， 9，7 （3） yx 2 x C 点的坐标为 ．2 2 4 16 4 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ， F ， 则 AD 2 ， CF7 ， BE 1， DE 5 ， FE 3 16 2 ， DF ．4 4 S△ ABC S梯形 ADEB S 梯形 ADFC S 梯形 CFEB ．1 (2 1) 2 1 2 7 5 1 1 73 15 ．2 2 16 4 2 16 4 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ， m1 ， Q 点 A(12)， ， B(31)， 在直线 AB 上， n2 1 3m 解得 5n.n.2 直线 AB 的函数表达式为 y 1 x 5 G 点的坐标为5 2 ． 0， ． 2 2B C x O D F E 图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线 BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为 3 1 时，求正方形的边长（ 2012 汇编 P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ， OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；(2) 若E、 F 为边OA 的两个动点，且EF=2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求当E、 F 的坐标类型二垂线段最短1、已知对称轴为y 轴的抛物线y ax 2 c ，与直线l1交于A（ -4,3），B(2 ， 0)两点，经过点 C（ 0，-2）的直线l2与 x 轴平行， O 为坐标原点。

（ 1）求直线l1和这条抛物线的解析式；（2）以 A 为圆心， AO 为半径的圆记为⊙ A ，判断直线l2与⊙ A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线l1上的点 D 的横坐标为 -1，P m, n是（ 1）中抛物线上的动点，当PDO 的周长最小时，求四边形 CODP 的面积。

（ 2013 汇编P36+P139 ）2、如图，在直角坐标系中， A 点坐标为（ -3 ，-2 ），⊙ A 的半径为 1，P 为x轴上一动点， PQ 切⊙ A 于点 Q，则当 PQ最小时， P 点的坐标为O PQA类型三三角形两边之差小于第三边在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A,B 的坐标分别为A（ 0,3）和 B（5,0），连结 AB;(1) 现将AOB 绕点O按逆时针方向旋转90 ，得到COD ，（点A落到点C处），求经过B、C、 D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点 B 的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相较于点F。

P 为平移后得到抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当PE PF 取得最大值时，求点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P 使得EPF 为直角三角形？如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由。

（2012汇编P16+P125）汇编 2013P96 同类型类型四抛物线顶点的最值已知抛物线y ax 2 bx c(a 0) 与x 轴交于 A （ -6,0）、 B（ 2,0），与y 轴交于点C（ 0，-6）。

（ 1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；（ 2）若在抛物线的对称轴上存在一点M ，使MBC的周长最小，求点 M 的坐标；（3）在（ 2）的情况下，若点 P(0，k)为线段OC 上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点的面积为S，求当点P 运动到何处时S 的值最大？（2012 汇编D ，连结 MD 、MP ，设P8+P123）MPD2013 汇编 P104+P169三、等积转化问题1、如图，是一个由弓形和三角形组成的组合图形，若取弧AB 的中点 M ，弦 AB 的中点 N，连接 MN 和 NC ，则折线 MNC 将此图形分为两部分，这两部分的面积是否相等？请你在图中画出一条直线，将这个组合图形分成面积相等的两部分，并说明这条直线的画法。

MA BNC2、我们把能平分四边形面积的直线成为“等积线”，下面是平分四边形面积的方法之一，利用作图，可以得到四边形的“等积线” ，如图，在四边形 ABCD 中，取对角线 BD 的中点 O，连接 OA,OC. 显然，折线 AOC 能平分四边形 ABCD 的面积，再过点 O 作 OE||AC 交 CD 于 E，则直线 AE 即为一条“等积线”。

（1）在图中，画出经过 C 点的四边形 ABCD 的“等积线” CK（2）如图， AE 为四边形ABCD 的一条“等积线” ， F 为 AD 边上的一点，请画出经过 F 点的四边形 ABCD 的“等积线” ，并写出画图步骤DDFA AOEEB CB C3、已知：如图，抛物线y ax 22ax c( a 0) 与y轴交于点C(0,4) ，于 x 轴交于点A,B ，点 A 的坐标为（ 4,0）（1）求抛物线的解析式（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE||AC, 交 BC 于点 E，连接 CQ，当三角形CQE 的面积为 3 时，求 Q 的坐标（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与线段 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线 l，使得三角形 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。