k b＝1
4
4k b＝
3
，解得：
k＝
b＝
4 3
13 12
，
∴ 直线 AB′的解析式为 y=- 13 x+ 4 ， 12 3
当 y=-1 时，有- 13 x+ 4 =-1， 12 3
解得：x= 28 ， 13
∴ 点 P 的坐标为（ 28 ，-1）． 13
（3）∵ 点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等， ∴ （m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴ m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵ M（m，n）为抛物线上一动点，
4
4
点 N 的纵坐标为 15 两种情况分别求解；以 BD 为对角线时，有 1 种情况，此时 N1 点与 4
N2 点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得 BM1=N1D=4，继而求得 OM1= 8，由 此即可求得答案.
【详解】
(1)抛物线 y ax2 bx c 经过点 A(-2,0)，B(4,0)，
(3)在(2)的条件下，若点 M 是 x 轴上的一个动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存
在这样的点 M,使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
y
3 4
x2
3 2
x
6
；(2)3；(3)
M1(8,
0),
M2
特征，即可得出（1- 1 - 1 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由 m 的任意性可得出关 22
于 x0、y0 的方程组，解之即可求出顶点 F 的坐标． 详解：（1）∵ 抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为 y=a（x-2）2．
∵ 该抛物线经过点（4，1），
当 x＝﹣ b ＝ 31 ＝15.5 时，w 的最大值为 1805 元； 2a 2
（3）当 x＝15.5 时，y＝190， 50×190＜12000， 故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为 x 元时，既能销售完又能获得最大利润 w， 由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13， w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6）， 当 x＝13 时，w＝1680， 此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性 来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方 案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线 y= 1 x 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y=﹣1． 4
（1）求抛物线的解析式； （2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由． （3）知 F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l 的 距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标．
4．综合与探究
如图，抛物线 y ax2 bx 6 经过点 A(-2,0)，B(4,0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物
线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m(1 m 4) .连接 AC，BC，DB，DC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△ BCD 的面积等于△ AOC 的面积的 3 时，求 m 的值； 4
作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′交直线 l 于点 P，此时 PA+PB 取得最小值（如图 1 所示）．
∵ 点 B（4，1），直线 l 为 y=-1， ∴ 点 B′的坐标为（4，-3）． 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 A（1， 1 ）、B′（4，-3）代入 y=kx+b，得： 4
2．如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的 横坐标是 2． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若 不在，请说明理由； （3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得△ PAB 的面积最大，并求出这 个最大值．
【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当 x＝15.5 时，w 的最大值为 1805 元； （3）当 x＝13 时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】 （1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b 即可求解； （2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵ ﹣20＜0，故 w 有最大值， 即可求解；
②当 AB=BC 时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5 2 22 ，即：点 C 坐标为
（5 2 22 ，0）或（5﹣2 22 ，0）；
③当 AC=BC 时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m= 97 ，则点 C 坐标为 10
（ 97 ，0）． 10
综上所述：存在，点 C 的坐标为：（±4
【答案】（1） y 12 x2 48 x 3 ，顶点 D（2， 63 ）；（2）C（ 4 10 ，0）或
55
5
（52
22
，0）或（
97 10
，0）；（3）
75 2
【解析】
【分析】
（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x b 2，抛物线过 A（0，﹣3），则：函数 2a
的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把 B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分 AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；
∴ n= 1 m2-m+1， 4
∴ m2-2x0m+x02-2y0（ 1 m2-m+1）+y02=2（ 1 m2-m+1）+1，
4
4
整理得：（1- 1 - 1 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． 22
∵ m 为任意值，
∴
1 2
1 2 2
x0
1 2
y0＝0 2 y0＝0
B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′交直线 l 于点 P，此时 PA+PB 取得最小值，根据点 B 的
坐标可得出点 B′的坐标，根据点 A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线 AB′的解析式，再
利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的坐标；
（3）由点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
，
x02
y02
2
y0
3＝0
∴
x0＝2 y0＝1
，
∴ 定点 F 的坐标为（2，1）．
Hale Waihona Puke 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的
坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标， 利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点 P 的位置； （3）根据点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐 标特征，找出关于 x0、y0 的方程组．
（3）当 x＝15.5 时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期 内全部销售完；由 50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当 x＝13 时，既能销售完又能获 得最大利润． 【详解】 解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b 得：
【答案】（1）抛物线的解析式为 y= 1 x2﹣x+1．（2）点 P 的坐标为（ 28 ，﹣1）．（3）
4
13
定点 F 的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为 y=a（x-2）2，由抛
物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点 A、B 的坐标，作点
10 ，0）或（5 2
22
，0）或（
97 10
，0）；
（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H．设直线 AB 的表达式为 y=kx﹣3，把点 B 坐标代
入上式，9=5k﹣3，则 k 12 ，故函数的表达式为：y 12 x﹣3，设点 P 坐标为（m，
5
5
12 m2 48 m﹣3），则点 H 坐标为（m， 12 m﹣3），S△ PAB 1 •PH•xB 5
5
5
55
当 x=2 时，y 63 ，即顶点 D 的坐标为（2， 63 ）；
5
5
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则 AB=13，设点 C 坐标（m，0），分三种情况讨论：
①当 AB=AC 时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4 10 ，即点 C 坐标为：
（4 10 ，0）或（﹣4 10 ，0）；
(0,
0),
M3(
14,0), M4(
14,0) .
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线 DE⊥ x 轴于点 E，交 BC 于点 G，作 CF⊥DE，垂足为 F，先求出 S△ OAC=6，再根据