( xn1
m1 (n1 ))* ( yn2
m1(n2 )) p(xn1 ,
yn2 ; n1, n2 )dxdy

N
lim

E

1 N
N k 1
[
xk
(n1
)

m1
(n1
)]
*
[
y
k
(n2
)

m1
(n2
)]
Digital Signal Processing
随机过程的高阶统计量描述

X n2
]


x x* n1 n2
p( xn1
,
xn2
; n1,
n2
)dx

N
lim

E

1 N
N k 1
[
xk
(n1
)]
*
xk
(n2
)

自相关函数特性
•对偶性 rx ( ) rx*( )
•中心最大性 rx (0) rx (m)
•远隔不相关性
lim
m


mx E[ X (n)] xp(x)dx

2 0
Asin(2 nfTs
)
1
2
d

0
x(n)

lim N
1 N
M nM
Asin(2 nfTs
),
N

2M
1
0 mx
Digital Signal Processing
p(x) x d , dx x d
xk0 (n) (xk0 (n m))* lim
1

xk0 (n)(xk0 (n m)*
M M n0
Digital Signal Processing
时间平均和统计平均的比较
Digital Signal Processing
p(x) x d , dx x d
Digital Signal Processing
第七章 随机信号分析基础
随机信号特性
确定性信号可通过明确的数学表达式表示，时域波形具 可预测或重复性。
随机信号，时域观察具不可预测性或时域信号具实验 不可重复性
Digital Signal Processing
常见随机信号
确定性过程过于复杂，很难用精确模型描述时，将其当作随 机信号看待，则可以用更简单的模型加以描述
功率谱密度函数的定义
xk0 (n), n ~
x k0 N
(n)

xk0 (n), n

0, 其它n
M
,N

2M
1
M
X
k0 N
(e
j
)

x
k0 N
(n)e

jn
,


[0,2
]
nM
Pk0
M

nM
xNk 0
2

1
2
2 0
X
k0 N
(e
j
随机信号的特征函数、矩函数和累积量 X [X1, X2 ,...X M ]T
M
j vk xk (v) E[e k1 ], v [v1, v2 ,..., vM ]T
(v) ln (v)
mk1k2 ...kM

E[
x k1 1
,
xk2 2
,...,
xkM M
], k1

k2
随机过程的低阶统计量描述
xk (n), n 0,1,..., k 1, 2,..., N xk (n) n常数 , k 1, 2,..., N X n
一阶统计量
均值
x (n) m1(n) n常数 E
Xn


xn
p(xn )dx

lim E
N
1 N
N
[xk (n1)]*
k 1
yk (n2 )
Digital Signal Processing
互相关函数特性
•对偶性 rxy (m) ryx (m)
•中心最大性 rx (0)ry (0) rxy (m)
•远隔不相关性
lim
m
rxy
(m)

0
互协方差函数
cxy (n1, n2 ) E[( X n1 m1(n1))* (Yn2 m1(n2 ))]
Digital Signal Processing
平稳随机信号的遍历性
一个样本的时间平均和无穷多个样本的统计平均相等
xk0 (n) m1,
xk0 (n) (xk0 (n m))* rx (n0 , n0 m)
xk0 (n) lim
1

xk0 (n)
M M n0

rx (n2
n1)
cx (n1, n2 ) cx (n2 n1)
Digital Signal Processing
m1(n) E[X (n)] E[Asin(2 fnTs )] sin(2 fnTs )E[A]
0, n 0,1,...,
rx (n, n m) E[x(n)x(n m)]


rx (n, n m) x(n)x(n m) p( )d

2 0
A2
sin(2nfTs
) sin(2 (n m)
fTs
) 1 d 2

A2 2
cos(2
mfTs
)
x(n)
x(n

m)

lim N
1 N
M nM
A2
sin(2 nfTs
Digital Signal Processing
7．1随机信号的描述
随机过程的概率密度描述
ni时刻随机变量 X i xk (ni ), k 1, 2,..., N
随机信号：随机变量集合 X [ X1, X 2 ,..., X ]
Digital Signal Processing
1 N
N k 1
xk
(n)

x {x (1), x (1),..., x ()} 或x (n), n 1, 2,...,
方差
2 x
(n)

m2 (n)
n常数
E

Xn
m1(n)
2


[ xn
m1(n)]2
p(xn )dx
v0
第二特征函数和累积量的关系
(v) 1 M ck ( jv)k O(vM ) k 1 k ! 高斯分布零均值随机变量的高阶矩和高阶累积量
13... (k 1) 2 , k偶数
mk
0
k奇数
0, k 1或k 3
ck
2,k 2
Digital Signal Processing
信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）较低的信号属于随机信号
系统噪声
观测噪声
动态系统的状态量
+
测量系统
+
观测值
Digital Signal Processing
典型随机信号（放大器温漂） xk (n), n 0,1,...
随机信号分析方法
用统计方法进行分析 通过采集大量样本弥补对单样本信号认识不足的缺陷
随机过程的概率密度描述
特定时刻随机变量 X i 的概率密度 P(xi ) P( X i xi ; ni )
不同时刻随机变量之间的高阶联合概率密度函数 p(x0 , x1,...xM ; n0 , n1,..., nM )
Digital Signal Processing
常见概率分布
) sin(2 (n

m)
fTs
),
N

2M
1

lim N
1 N
M nM
A2 2
cos(2 mfTs ) cos(2 (n m)
fTs )

A2 2
cos(2 mfTs )

rx (n, n m)
Digital Signal Processing
7．3功率谱密度函数

N
lim

E

1 N
N k 1
[
x
k
(n1
)

m1
(n1
)]
*[
x
k
(n2
)

m1
(n2
)]
互相关函数 X (n),Y (n)
rxy
(n1, n2 )

E[
X
* n1
Yn2
]


x* n1
yn2
p( xn1
,
yn2
;
n1,
n2
)dxdy

lim E
N
狭义平稳随机过程 高阶联合概率分布函数满足：
P(x1, x2 ,...x ; n1, n2 ,..., n ) P(x1, x2,...x; n1 m, n2 m,..., n m), m为任意常数
•高阶联合概率分布与时间起点无关，称该随机过程狭义平稳 或严格平稳
•随机信号的均值与时间无关相关与时间起点无关时，称随机 信号宽平稳，简称为平稳随机信号
E