2020年江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i
i
z 23-=
，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23
π
的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ．
5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教
（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128
1
--=
x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin -
=θ，2
3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2
21x y m
+=的离心率是 ． 10．若曲线1
2
+-=
x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B
A tan 3
tan 2-
的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2
2
=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，
在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，
AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ．
14．已知函数2
()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1
()()2f t f t
+=-，
则2
2
4a b +的最小值为 ．
（第3题）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若5
3
)3
sin(=
-
π
B ，求A sin 的值．
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．
（1）求证：//DE 平面PBC ；
（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．
17．(本小题满分14分)
已知函数1
()|1|4
=--f x x x ．
（1）解方程()0f x =；
（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．
18．(本小题满分16分)
2020年5月1日，某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3
的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤2
3
）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.
在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一
段
余
弦
曲
线
，
其
表
达
式
为
1cos y x
=-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)
(1t h ；曲线
2
C 是抛物线
249
y x =
的
一
段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．
（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；
（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）
19．(本小题满分16分)
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（1）设
1
2
e ，求
BC
AD
值；
（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
20．(本小题满分16分)
已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．
（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；
（2）若对于任意][3
e e x ，∈，都有x x
f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．。