β⊂m α⊂n n
m //20xx 年江苏高考数学模拟试卷（一）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设复数z 满足()i i z i 23+-=+(i 为虚数单位),则z 的实部是 . 2．若全集U {}23|||2,{|log (1)1}x x A x x =<=-<，则
A =U
.
3．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段 [)60,65
[)65,70
[)70,75
[)75,80
[)80,85
[)85,90
[)90,95
人数
1
3
6
6
2
1
1
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分.
4．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 5．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ． 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
给出下列命题： （1）若， ， ， ，则 ； （2）若， ， ， ，则 ； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；
（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 ．
7．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82
=的焦点,则圆C 的一般方程为 ．
8．已知集合2
{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28, 则a 的范围是
____ ____．
9．如图，ABC ∆是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，
1为半径的圆上的任意一点，则BP AP •的最小值 ．
10．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线
交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为 ． （第9题图） 11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常
数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝ ．
12．已知△ABC 中，设,,,,,a b c A B C ∠∠∠分别为的对边长，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2
b a
c a b ab
++的
最大值为 .
13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若
这个长方体的外接球的体积存在最小值，则
a
b
的取值范围是 ． 14．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44
f x x m x x x ππ
=+
++-， (1) 当m =0时，求()f x 在区间(0,)2
π
上的取值范围；
(2) 当tan 2α=时， 3
()5
f α=，求m 的值．
16．（本小题满分14分）已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．
(1) 求证：11B D AE ⊥； (2) 求证：//AC 平面1B DE ．
17.（本题满分14分）如图，有一位于A 处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A 相距202 海里的B 处有一
P
B
A
C
k ≥-3 开始 k ←1 S ←0 S ←S – 2k k ←k -1
结束
输出S Y N （第5题图）
βα//βα//
β⊥m α//n n m ⊥
货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45θ
︒+（其中
1
tan,045
5
θθ
=︒<<︒）
且与观测站A
相距海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．
18．(本小题满分16分)已知双曲线
22
1.
62
x y
-=
（1）点P在以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线
CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，
请说明理由;
（2）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求CMN
∆面积的最大值，并求此时直线l的方程.
19．（本小题满分16分）设
12
,x x是()()
32
1
,,0
32
a b
f x x x x a b R a
-
=++∈>的两个极值点，()
f x的导函数是
()
y f x
'
=
B
A
（1）如果1224x x <<< ，求证：()23f '->； （2）如果1212,2x x x <-= ，求b 的取值范围；
（3）如果2a ≥ ，且()21122,,x x x x x -=∈时，函数()()()22g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值.
20．（本小题满分16分）如果无穷数列{a n }满足下列条件：① a n ＋a n ＋22
≤a n ＋1；② 存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．
(1) 设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围； (2) 设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝7
4
，
证明：数列{S n }是Ω数列；
(3) 设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个
特征向量为
α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1.
(1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
(2) 若向量m ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－1－4，求A 4m .
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫22，－π
4，圆O 1：ρ＝4cosθ＋4sinθ.
(1) 将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 判断点A 与圆O 1的位置关系．
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ．求证：x x ＋a ＞y
y ＋b .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．已知甲盒有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.
现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
23． 已知2
012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-+
+-∈
(1) 求0a 及1
n
n i i S a ==
∑；
(2) 试比较n S 与2
(2)22n n n -+的大小，并说明理由.。