2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2]B．{﹣1，3}C．{1}D．{1，2}2．设复数z满足方程||•z+|z|＝4，其中为复数z的共轭复数，若z的实部为，则|z|为（）A．1B．C．2D．43．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝•sin x B．f（x）＝•cos xC．f（x）＝ln|x|•sin x D．f（x）＝ln|x|•cos x4．（2x﹣）6的展开式中，x4的系数是（）A．20B．﹣20C．160D．﹣1605．有四个幂函数：①f（x）＝x﹣1；②f（x）＝x﹣2；③f（x）＝x3；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．①B．②C．③D．④6．空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”“良”“轻（中）度污染”“中度（重）污染”“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的有（）A．这14天中有4天空气质量指数为“良”B．这14天中空气质量中位数数是103C．从2日到5日空气质量越来越差D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日7．已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，点P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．B．2C．3D．28．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b n}满足．若对任意的n∈N*，都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣6，﹣5]B．（﹣6，﹣5）C．[﹣5，﹣4]D．（﹣5，﹣4）9．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．在四面体ABCD中，AB＝AC＝2，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为，若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．B．49πC．D．4π11．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a12．在△ABC中，已知•＝9，b＝c•cos A，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且＝x•+y•，则+的最小值为（）A．9B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为．14．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其定义为：当R（x）＝，若函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝．15．已知点P为椭圆上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2＝1的任意一条直径，则的最大值是．16．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作ver sinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作cover sinθ，则下列命题中正确的序号是．①函数y＝cover sin x﹣ver sin x在上是减函数；②若＝2，则cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣；③函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+），则f（x）的最大值2+；④ver sin（﹣θ）＝cover sinθ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足a1＝b1＝3，且b3﹣a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）在①，②，③c n＝a n b n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若，求数列{c n}的前n项的和S n．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，平面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，PA＝PD＝2，AD，AB的中点分别是O，G．（1）求证：OG⊥平面POC；（2）二面角D﹣PG﹣O的正弦值．19．近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人．（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望．附：，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.828 20．已知动圆P过定点A（﹣1，0），并且在定圆B：（x﹣1）2+y2＝16内部与其相内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l经过点B（1，0）且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣xlnx．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1，讨论当时，函数h（x）的零点个数．选作题：本小题满分10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程（θ为参数）．以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在线C上，直线L过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当时，求ρ0及L的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，求k的取值范围；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2]B．{﹣1，3}C．{1}D．{1，2}解：∵集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．设复数z满足方程||•z+|z|＝4，其中为复数z的共轭复数，若z的实部为，则|z|为（）A．1B．C．2D．4解：因为为复数z的共轭复数，所以设z＝a+bi则有＝a﹣bi，其中a＝，所以|z|＝||＝，所以||•z+|z|＝（z+）＝|z|•2a＝＝4，所以|z|＝．故选：B．3．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝•sin x B．f（x）＝•cos xC．f（x）＝ln|x|•sin x D．f（x）＝ln|x|•cos x解：由图可知，函数f（x）为偶函数，可排除选项A和C；对于选项B和D，都有f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝•cos x＞0，与函数图象不符；f（x）＝ln|x|•cos x ＜0，与函数图象符合，所以选项B错误．故选：D．4．（2x﹣）6的展开式中，x4的系数是（）A．20B．﹣20C．160D．﹣160解：（2x﹣）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝4，求得r＝3，可得x4的系数为﹣•23＝﹣160，故选：D．5．有四个幂函数：①f（x）＝x﹣1；②f（x）＝x﹣2；③f（x）＝x3；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．①B．②C．③D．④解：对于①，f（x）＝x﹣1；是奇函数，不满足（1）偶函数；满足（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；不满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以①不正确；对于②，f（x）＝x﹣2；具有性质（1）是偶函数；不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以②正确．对于③，f（x）＝x3；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．所以不正确；对于④，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．所以不正确；故选：B．6．空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”“良”“轻（中）度污染”“中度（重）污染”“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的有（）A．这14天中有4天空气质量指数为“良”B．这14天中空气质量中位数数是103C．从2日到5日空气质量越来越差D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日解：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A正确；14天中的中位数为：＝103.5，故B错误，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C正确，而答案D显然成立，故选：B．7．已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，点P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．B．2C．3D．2解：抛物线方程化为标准方程为：x2＝4y，p＝2，则焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，设A（x，y），所以|AF|＝y+1＝2，得y＝1，代入抛物线方程解得x＝2，（假设A在y 轴右侧），所以A（2，1），则点A关于准线方程y＝﹣1对称的点M为（2，﹣3），如图所示：由中垂线性质可得：（|PA|+|PO|）min＝|OM|＝＝，故选：A．8．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b n}满足．若对任意的n∈N*，都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣6，﹣5]B．（﹣6，﹣5）C．[﹣5，﹣4]D．（﹣5，﹣4）解：根据题意：数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，所以a n＝n+a﹣1，由于数列{b n}满足＝，所以对任意的n∈N都成立，故数列{a n}单调递增，且满足a5＜0，a6＞0，所以，解得﹣5＜a＜﹣4．故选：D．9．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：∵|OF1|＝|OF2|＝|OP|，∴∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝t，则|F1P|＝t，a＝，t2+3t2＝4c2，则t＝c，∴e＝＝+1，故选：D．10．在四面体ABCD中，AB＝AC＝2，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为，若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．B．49πC．D．4π解：由余弦定理可得cos∠BAC＝＝﹣，∴∠BAC＝120°，∴V D﹣ABC＝＝，解得AD＝1，设△ABC的外接圆圆心为O1，则2O1A＝＝4，即O1A＝2，∵OO1⊥平面ABC，AD⊥平面ABC，∴OO1∥AD，OO1＝AD＝，∴球O的半径OA＝＝，∴球O的表面积为4π×OA2＝49π．故选：B．11．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cos x，令x＝，则f′（）＝2，∴f′（x）＝﹣2cos x，当x∈时，≥2，2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时，＞0，2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：D．12．在△ABC中，已知•＝9，b＝c•cos A，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且＝x•+y•，则+的最小值为（）A．9B．C．D．解：由＝9可得bc•cos A＝9，又b＝c•cos A，∴b2＝9，即b＝3，又S△ABC＝bc sin A＝6，∴c sin A＝4，由c cos A＝b＝3，∴tan A＝，故sin A＝，cos A＝，∴c＝5，∴a＝＝4，∴＝+，又A，B，P三点共线，故＝1，∴4x+3y+2＝14，∴+＝（+）（4x+3y+2）＝（4+++1）≥（5+2）＝，当且仅当＝即2x＝3y+2＝时取等号，故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1＝0．解：函数f（x）＝x sin x+cos x+x的导数为f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x+1＝x cos x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝0cos0+1＝1，又f（0）＝1，可得所求切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．14．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其定义为：当R（x）＝，若函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝﹣．解：∵R（x）＝，函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝f（x），∴f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x﹣8）＝﹣f（x﹣4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝﹣f（）+f（）＝﹣R（）+R（）＝﹣+0＝﹣．故答案为：﹣．15．已知点P为椭圆上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2＝1的任意一条直径，则的最大值是19．解：因为EF为圆N的直径，所以|NE|＝|NF|＝1，且N（0，1），且＝﹣，则•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝2﹣2＝||2﹣1，设P（x0，y0），则有+＝1，所以x02＝16﹣y02，所以||2＝x02+（y0﹣1）2＝16﹣y02+（y0﹣1）2＝﹣（y0+3）2+20，由P在椭圆上，可得y0∈[﹣2，2]，所以当y0＝﹣3时，||2最大为20，所以||2﹣1的最大值为19，所以的最大值为19，故答案为：19．16．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作ver sinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作cover sinθ，则下列命题中正确的序号是②④．①函数y＝cover sin x﹣ver sin x在上是减函数；②若＝2，则cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣；③函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+），则f（x）的最大值2+；④ver sin（﹣θ）＝cover sinθ．解：对于①：函数y＝cover sin x﹣ver sin x＝1﹣sin x﹣（1﹣cos x）＝﹣（sin x﹣cos x）＝﹣，由于x∈，故（x﹣），所以函数在该区间上不单调，故①错误．对于②：，所以cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣sin2x+cos2x＝，故②正确；对于③：函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+）＝1﹣cos（2020x﹣）+1﹣sin（2020x+）＝﹣2sin（2020x+），函数的最大值为2，故③错误；对于④：ver sin（﹣θ）＝1﹣cos（﹣θ）＝1﹣sinθ＝cover sinθ，故④正确；故选：②④．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足a1＝b1＝3，且b3﹣a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）在①，②，③c n＝a n b n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若，求数列{c n}的前n项的和S n．解：（1）设等差数列{a n}的公差d，等比数列{b n}的公比q（q＞0），由题意得20＝b3﹣a3＝a5+b2，即，解得d＝2，q＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，；（2）若选择①：+（﹣3）n＝（﹣）+（﹣3）n，则S n＝（﹣+﹣+…+﹣）+＝（﹣）+，所以；若选择②：，则S n＝n（3+2n+1）+＝n（n+2）+﹣，所以；若选择③：，，3S n＝3•32+5•33+…+（2n+1）•3n+1，两式相减可得﹣2S n＝9+2（32+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1＝9+2•﹣（2n+1）•3n+1，可得．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，平面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，PA＝PD＝2，AD，AB的中点分别是O，G．（1）求证：OG⊥平面POC；（2）二面角D﹣PG﹣O的正弦值．【解答】（1）证明：连接OB，BD，易证四边形OBCD为正方形，所以BD⊥OC，OG∥BD，所以OG⊥OC，PA＝PD，AD的中点是O，所以PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，又GO，OC⊂平面ABCD，∴PO⊥GO，PO⊥OC，∴GO⊥平面POC．（2）解：由（1）知OB，OD，OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．因为AD＝2BC＝2CD＝4，．则点P（0，0，2），D（0，2，0），O（0，0，0），C（2，2，0），G（1，﹣1，0），，，，由（1）知PO⊥OC，GO⊥OC，所以OC⊥平面PGO，所以为平面PGO的一个法向量；又设平面PGD的法向量为＝（x，y，z），得，取y＝1，得，所以cos＝＝，所以：二面角D﹣PG﹣O的正弦值是．19．近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人．（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望．附：，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得n＝100．（2）2×2列联表为：选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100故有99%的把握认为选择科目与性别有关．（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”．9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X可为0，1，2，3，4．设事件X发生的概率为P（X），则，，，，所以X的分布列为X01234P数学期望．20．已知动圆P过定点A（﹣1，0），并且在定圆B：（x﹣1）2+y2＝16内部与其相内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l经过点B（1，0）且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）B（1，0），半径为4，设动圆圆心P（x，y），半径为r．则由题可知：，所以|PA|+|PB|＝4＞|AB|＝2，所以P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．2a＝4，2c＝2．所以a2＝4，b2＝3．所求椭圆方程为．（2）若存在满足条件的点Q（t，0），当直线l的斜率k存在时，设y＝k（x﹣1），联立，消y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∵＝＝＝＝＝，∴要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t＝4，此时k QM+k QN＝0，当直线l与x轴垂直时，若t＝4，也有k QM+k QN＝0．故在x轴上存在点Q（4，0），使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣xlnx．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1，讨论当时，函数h（x）的零点个数．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，，因为f''（x）在（0，+∞）上单调递增，且f''（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，f''（x）＜0，f'（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f''（x）＞0，f'（x）单调递增，从而当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥f'（1）＝0，f（x）单调递增，故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），f（x）无单调递减区间；（2）函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝e x﹣1﹣xlnx﹣ax﹣1，x＞0，令h（x）＝0，得，令，则函数h（x）在的零点个数问题即直线y＝a与函数g（x）的图象在上的交点个数，又，令g'（x）＝0，x＝1，x，g′（x）的变化如下：x1（1，+∞）g'（x）+0+所以g（x）在上单调递增，又因为当x→+∞时，g（x）→+∞，，①当时，直线y＝a与函数g（x）图象在上有1个交点，即h（x）在上零点个数为1个．②当时，直线y＝a与函数g（x）的图象在上没有交点，即h（x）在上零点个数为0个．综上，当时，h（x）在上零点个数为0个．当时，h（x）在上零点个数为1个．选作题：本小题满分10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程（θ为参数）．以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在线C上，直线L过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当时，求ρ0及L的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：（1）曲线C的方程（θ为参数）．消去参数，可得曲线C：x2+（y﹣2）2＝4，极坐标方程为ρ＝4sinθ，当时，，，设Q（ρ，θ）为L上除点P的任意一点，在Rt△OPQ中，，经检验，点在曲线上，所以L的极坐标方程为．（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，ρ＝4cosθ，因为P在线段OM上，AP⊥OM，∴OP≤OM，∴4cosθ≤4sinθ，所以．所以P的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，求k的取值范围；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．解：（1），可知，若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，∴f（x）min≥|k+3|﹣|k﹣2|，∴，即或或，即为k≤﹣3或﹣3＜k≤或k∈∅，∴；（2）由题意可知，∴，即，当且仅当m＝n时取“＝”号，∴，所以m+n的最小值．。