2020-2021 高三数学上期末试题(及答案)
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ）
A．若 a b ，则 ac2 bc2
B．若 a2 b2 ，则 a b
C．若 a b, c 0 ，则 a c b c
D．若 a b ，则 a b
2．已知等比数列 an 的公比为正数，且 a3 a9 2a52 , a2 1 ，则 a1 ( )
两角和的正弦公式转化为含有 ， ， C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
a 2b .解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10．B
解析：B 【解析】 【分析】
令 n 1 ，由 a1 S1 可求出 a1 的值，再令 n 2 ，由 Sn 2an 1 得出 Sn1 2an1 1 ，两
q __________________．
20．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2），且所有项之和为 N，那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3，4，5，6 为 20 型标准数列，则 2668 型标准数列的个数为______．
三、解答题
21．在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B,C 所对的边，且 2csin B 3a tan A. （1）求 b2 c2 的值；
1．D 解析：D 【解析】
选项 A 中，当 c=0 时不符，所以 A 错．选项 B 中，当 a 2,b 1时，符合 a2 b2 ，不
满足 a b ，B 错．选项 C 中, a c b c ,所以 C 错．选项 D 中，因为 0 a
2
2
b ，由不等式的平方法则， a b ，即 a b ．选 D.
S6 S3
3，则
S9 S6
（
）
A． 2
B． 7 3
C． 8 3
D． 3
y x 6．设变量 x, y 、满足约束条件 x y 2 ，则目标函数 z 2x y 的最大值为（ ）
y 3x 6
A．2
B．3
C．4
D．9
7．数列
an
中，对于任意 m, n
N
，恒有
amn
am
an ，若 a1
15．数列 2n 1 的前 n 项1,3, 7..2n 1组成集合 An 1,3,7, 2n 1 n N* ，从集合 An
中任取 k k 1, 2,3?··n 个数，其所有可能的 k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定
乘积为此数本身），记 Sn T1 T2 Tn ，例如当 n 1 时， A1 1,T1 1, S1 1；当 n 2 时， A2 1, 2,T1 1 3,T2 13, S2 1 313 7 ，试写出 Sn ___
1 8
，则 a7 等于(
)
A．
1 27
B．
1 47
C． 7 4
D． 7 8
2x y 4
8．设实数 x, y 满足 x 2 y 2 ，则 y 1 的最大值是（ ）
x 1 0
x
A．-1
B． 1 2
C．1
D． 3 2
9．在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 ABC 为锐角三角形，且满足
平移直线 z 2x y ，
由图可知，直线 z 2x y 经过 C(3,3) 时
目标函数 z 2x y 有最大值，
z 2x y 的最大值为 9.
故选 D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
2x y 4
由约束条件
x
2
y
2
，作出可行域如图，
x 1 0
联立
x
x 1 0 2y2
0
，解得
A（1，1 2
），
y 1 的几何意义为可行域内的动点与定点 P（0，-1）连线的斜率， x
由图可知，
kPA
1 1 2
1
3 2
最大．
故答案为 3 ． 2
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
1 1
q6 q3
1 q3
3，
1 q
∴ q3 2 ，
∴ S9 1 q9 1 23 7 ． S6 1 q6 1 22 3
故选：B． 【点睛】
本题考查等比数列前 n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理
能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求 解.
所以，数列an是以1为首项，以 2 为公比的等比数列，则 a5 1 24 16 ，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用
Sn
来求通项 an
，一般利用公式 an
SS1n,n
1 Sn1
,
n
2
，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用公式 an
1 T1
1 T2
1 Tn
与
1 2
Sn
的大小.
26．已知等差数列an满足 a1 a2 10 ， a4 a3 2 .
（1）求 an 的通项公式；
（2）设等比数列 bn 满足 b2 a3, b3 a7 .若 b6 ak ，求 k 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
9．A
解析：A 【解析】
sin(A C) 2sin BcosC 2sin AcosC cos Asin C
所以 2sin BcosC sin AcosC 2sin B sin A 2b a ，选 A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用
2．D
解析：D 【解析】
设公比为 q ，由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q4 2 ，即 q2 2 ，又因为等比数列 an 的公比为
正数，所以 q
2
，故 a1
a2 q
1 2
2 ，故选 D. 2
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数求出 ；利用余弦定理构造关于 的方程解出 ，再根据三角形面积公
sin B(1 2cosC) 2sin AcosC cos Asin C ，则下列等式成立的是（ ）
A． a 2b
B． b 2a
C． A 2B
D． B 2A
10．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 1 n N* ，则 a5 等于（ ）
A． 16
B．16
7．D
解析：D 【解析】
因为 amn
am
an , a1
1 8
,所以
a2
2a1
1 4
,
a4
2a2
1 2
,
a3
a1
a2
3, 8
a7
a3
a4
7 8
.选
D.
8．D
解析：D 【解析】
【分析】
由约束条件确定可行域，由 y 1 的几何意义，即可行域内的动点与定点 P（0，-1）连线 x
的斜率求得答案． 【详解】
.
（1）求角 B 的大小；
（2）设 a=2，c=3，求 b 和 sin 2A B的值.
25．已知各项均为正数的等比数列 an
的首项为
1 2
，且
21
a3
2a1
3a2 。
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn 8n ，数列bn的前 n 项和为Tn ，数列an 的前 n 项和为 Sn ，试比较
式相减可得出数列an 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求
出 a5 的值.
【详解】
当 n 1 时， S1 2a1 1 ，即 a1 2a1 1，解得 a1 1； 当 n 2 时，由 Sn 2an 1 ，得 Sn1 2an1 1，两式相减得 an 2an 2an1 ，得 an 2an1 .
Sn
Sn1 计算得到 2Sn1
3Sn ,
Sn1 Sn
3 2
，得到答案.
【详解】
由已知 a1 1，Sn 2an1，an Sn Sn1
得 Sn 2
Sn1 Sn
，即 2Sn1
3Sn ,
Sn1 Sn
3 2
，
而
S1
a1
1 ，所以 Sn
( 3)n1 . 2
故选 B.
【点睛】
本题考查了数列前 N 项和公式的求法，利用公式 an Sn Sn1 是解题的关键. 12．B
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方 程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
y x 画出满足约束条件 x y 2 的可行域，如图，
y 3x 6
画出可行域 ABC ， A(2, 0) ， B(1,1) ， C(3,3) ，
式求得结果.
【详解】
由余弦定理得： 解得： 或
为最小角
，即
本题正确选项： 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利 用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得
an＝n2sin（