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【常考题】高三数学上期末试卷(带答案)

【常考题】高三数学上期末试卷(带答案)一、选择题1.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为( )A .2BC .2D .12.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且239522,1a a a a ⋅==,则1a = ( )A .12B .2 CD .23.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈,则89a a λ+的最小值为( ) A .94-B .94C .274D .274-4.已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=(),则12310a a a a ++++=L A .110B .100C .55D .05.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,其首项10a >,991000a a +>,991000a a ⋅< ,则使0n S >成立的最大自然数n 是( ) A .198B .199C .200D .2016.在ABC ∆中,,,a b c 是角,,A B C 的对边,2a b =,3cos 5A =,则sinB =( ) A .25B .35C .45 D .857.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且2S =,则A 等于( )A .6π B .4π C .3π D .2π 8.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()cos 4cos a B c b A =-,则cos2A =( ) A .78B .18C .78-D .18-9.已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( )A .140B .280C .168D .5610.变量,x y 满足条件11y x ⎪≤⎨⎪>-⎩,则22(2)x y -+的最小值为( ) A .322B.5C .5D .9211.已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤,则24z x y =+的最小值是( )A .6-B .5C .10D .10-12.在等差数列 {}n a 中, n S 表示 {}n a 的前 n 项和,若 363a a += ,则 8S 的值为( )A .3B .8C .12D .24二、填空题13.若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab ++的最小值为___________.14.设x >0,y >0,x +2y =4,则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.15.设函数2()1f x x =-,对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立,则实数m 的取值范围是 . 16.如图,在ABC V 中,,43C BC π==时,点D 在边AC 上, AD DB =,DE AB ⊥,E 为垂足若22DE =,则cos A =__________17.设{}n a 是公比为q 的等比数列,1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中,则6q = .18.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对应的边长分别为a ,b ,c ,且22cos C =,cos cos 2b A a B +=,则ABC ∆的外接圆面积为__________.19.已知x ,y 满足10510x y x y ⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =+的最大值为______.20.已知数列{}n a (*n ∈N ),若11a =,112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2lim n n a →∞= . 三、解答题21.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=,BDC β∠=,CD s =,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB .22.等差数列{}n a 中,71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设1n nb na =,求数列{}n b 的前n 项和n S . 23.已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且2cos 2a C c b +=. (1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆面积的最大值。

24.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且3a =9,S 6=60. (I )求数列{a n }的通项公式;(II )若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a (n∈N +)且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n . 25.已知a ,b ,c 分别为ABC ∆内角A ,B ,C 的对边,222sin 2cos 22B Aa b b c +=+. (1)求B ;(2)若6c =,[2,6]a ∈,求sin C 的取值范围.26.在等比数列{}n a 中,11a =,且2a 是1a 与31a -的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+(*n N ∈),求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】试题分析:由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,232c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点:考查三角形面积计算公式及余弦定理.2.D解析:D 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以2q 21222a a q ===,故选D. 3.C解析:C 【解析】设等比数列的公比为q (q >1),1+(a 2-a 4)+λ(a 3-a 5)=0,可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-,(t >0),q 2=t+1,则设f (t )=()()()()()()3232622213112111t t t t t t qf t q tt t ++-+-+=='=∴-当t >12时,f (t )递增; 当0<t <12时,f (t )递减.可得t=12处,此时f (t )取得最小值,且为274,则a 8+λa 9的最小值为274; 故选C.4.C解析:C 【解析】 【分析】由已知条件得a n =n 2sin (2n 12+π)=22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数,所以a 1+a 2+a 3+…+a 10=22﹣12+42﹣32+…+102﹣92,由此能求出结果. 【详解】∵2n 12+π =n π+2π,n ∈N *,∴a n =n 2sin (2n 12+π)=22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10=22﹣12+42﹣32+…+102﹣92=1+2+3+…+10=()101+10=552故选C . 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性,属于中档题.5.A解析:A 【解析】 【分析】先根据10a >,991000a a +>,991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><;然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质,即可求出结果. 【详解】∵991000a a ⋅<, ∴99a 和100a 异号; ∵1991000,0a a a >+>,991000,0a a ∴><, 有等差数列的性质可知,等差数列{}n a 的公差0d <, 当99,*n n N ≤∈时,0n a >;当100,*n n N ≥∈时,0n a <; 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ,()119919910019919902a a S a+⨯==<,由等差数列的前n 项和的性质可知,使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选:A .本题主要考查了等差数列的性质.考查了学生的推理能力和运算能力.6.A解析:A 【解析】试题分析:由3cos 5A =得,又2a b =,由正弦定理可得sin B =.考点:同角关系式、正弦定理.7.C解析:C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+,结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA 1-=,从而得到角A. 【详解】∵2tan 23tan 2bc c B S B +=+∴2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+即c tan asinB a 3tan 13sin b B B B cosB+==++()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ 3sinA cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴5666A 或πππ-=(舍) ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式,以及三角恒等变换,熟练掌握边角的转化是解本题的关键.8.C解析:C【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ,进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-. ∴sin A cos B =4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A =4cos A sin C ∴sin C =4cos A sin C ∵0<C <π,sin C ≠0. ∴1=4cos A ,即cos A 14=, 那么27cos2218A cos A =-=-. 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用,考查计算能力,属于基础题.9.A解析:A 【解析】由等差数列的性质得,5611028a a a a +==+,∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==,故选A. 10.C解析:C 【解析】由约束条件画出可行域,如下图,可知当过A(0,1)点时,目标函数取最小值5,选C.11.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示,作直线:24l z x y =+,则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍,联立3{x x y =+=,解得3{3x y ==-,结合图象知,当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时,直线l 在y 轴上的截距最小, 此时z 取最小值,即()min 23436z =⨯+⨯-=-,故选A. 考点:线性规划12.C解析:C 【解析】 【分析】由题意可知,利用等差数列的性质,得18363a a a a +=+=,在利用等差数列的前n 项和公式,即可求解,得到答案。

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