专题5.1 任意角和弧度制知识储备1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120°B．－120°C．240°D．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝( ) A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°. 4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A【解析】∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．6．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三角限角．故选A、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z) 【答案】D 【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z.∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z)． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，10s间转过_______弧度．【答案】1 24【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||θ==；，周长为，即圆弧长为，∴||θ==三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限． 15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积. 【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－916．（2020·，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=．在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长)32dm 33l A D ππ=⨯==，面积()232112dm 2332S A D π=⨯⨯=⨯=．综上，点A 走过的路程(()1239dm 26l l l l πππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S。