专题08 数列大题部分【训练目标】1、 理解并会运用数列的函数特性；2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质；3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法；4、 掌握常用的求和方法；5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。

【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。

总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。

【名校试题荟萃】1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值.【答案】（1）2nn a = （2）10（2）由（1）可得112nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，由，即21000n>，因为，所以10n ≥，于是使得成立的n 的最小值为10.2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T .【答案】（1） （2）（2）由函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而，故22a =从而n a n =，2n n b =，2n nn a nb =所以故。

3、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知10a ≠，，n *∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n na 的前n 项和． 【答案】（1）1，2 （2）12-=n n a （3）（3）由（2）知12-=n n n na ，记其前n 项和为n T ，于是① ②①-②得从而．4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足，且11=a 。

（1）求数列的通项公式n a ； （2）记，n T 为}{n b 的前n 项和，求使nT n 2≥成立的n 的最小值. 【答案】（1）12-=n a n （2）5（2）由（1）知，∴，由nT n 2≥有242+≥n n ，有6)2(2≥-n ，所以5≥n ， ∴n 的最小值为5.5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知数列{}n a 满足12a =，且， *n N ∈.（1）设2nn na b =，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】 （1）（2）【解析】（1）把2n n n a b =代入到，得，同除12n +，得11n n b b +=+，∴{}n b 为等差数列，首项1112a b ==，公差为1，∴.（2）由，再利用错位相减法计算得： .。

6、（安徽省肥东县高级中学2019届高三11月调研考试数学（理）试题）已知数列{}n a 满足： 11a =，.（1）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）（2）（2）由（Ⅰ）可知，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 则①②。

7、（广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第二次联考（11月）数学（理）试题）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 满足（n *∈N ）,且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】 （1）23n a n =+（2）对13b =上式也成立,所以,即,所以.8、（江西省玉山县一中2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列{n a }中，81=a ，24=a ，且满足，)(*N n ∈（1）设，求n S ；（2）设，)(*N n ∈，，)(*N n ∈，是否存在最大的正整数m ，使得对任意*N n ∈均有32mT n >成立？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）（2）7从而故数列T n 是单调递增数列，又因是数列中的最小项，要使恒成立，故只需成立即可，由此解得m ＜8，由于m ∈Z *， 故适合条件的m 的最大值为7．9、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列{}n a 满足N *．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足N *），求数列的前n 项和n S ． 【答案】（1）243n a n =-（2）【解析】（1）由题知数列{}3n a +是以2为首项，2为公差的等差数列，.10、（江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】 （1）12n -（2）2121n n -+【解析】 （1）当时，，得当时，有，所以即，满足时，，所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为．11、已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1（k ）＝2b n （k ）对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ． （i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值． 【答案】 （1）95-=a（2）（i ）12-=n n a ；（ii ）k ＝2，t ＝3【解析】 （1）因为，所以，所以95-=a .（2）（i ）因为b n ＋1（k ）＝2b n （k ），得，令k ＝1,，……………①k ＝2，，……………② 由①得，……………③②+③得，……………④①+④得n n a a 21=+， 又011≠=a ，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12-=n n a ．12、（江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试）已知正项数列}{n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列+n n a b λ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列}{n b 、}{n c 都是等比数列，且满足n n n a b c -=，试证明：数列}{n c 中只存在三项. 【答案】（1）n a n= （2）23λ>-（3）见解析【解析】 （1），故当2≥n 时，两式作差得：，由}{n a 为正项数列知，，即}{n a 为等差数列，故n a n = 。

（2）由题意，，化简得 311-=b ，所以，所以，由题意知恒成立，即3>13n λ-恒成立，所以133λ-<，解得23λ>-；13、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）已知数列}{n a ，满足11=a ，232=a ，，（1）证明：为等比数列并求}{n a 的通项公式；（2）n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在*∈N t r ,,)(t r<使得t r S S S ,,1成等差数列，若存在求出t r ,，不存在，请说明理由。

【答案】（1） （2）不存在（2）,11=∴S ,,.等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的t r ,，使得t r S S S ,,1成等差数列.14、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）设数列{}n a 满足：（1）.求数列{}n a 的通项公式；（2）.设，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】 （1）nn a 31=∴（2）见解析（2）①当n 为奇数时，.②当n 为偶数时，.15、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列中，，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而；（2），.，两式相减得，∴.∴，若为偶数，则，∴，若为奇数，则，∴，∴，∴.16、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（一）数学（理）试题）已知是等比数列，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求正整数的值，使得对任意均有.【答案】（1）（2）5.①－②得：，所以，则.由得：当时，；当时，…；所以对任意，且均有故k=5.。