12．(2017·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E， 75° ． F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝_____ 13 ．(2017·绍兴) 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形， 点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线 为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 4600 100 m，则小聪行走的路程为_______m.
5．(导学号 69654100)(2017· 苏州)如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60° ， AD＝8，F 是 AB 的中点．过点 F 作 FE⊥AD，垂足为点 E. 将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到△A′E′F′. 设 P，P′分别是 EF，E′F′的中点，当点 A′与点 B 重合时， 四边形 PP′CD 的面积为( A ) A．28 3 C．32 3 B．24 3 D．32 3－8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)作 AH⊥BD 于点 H，由题意知∠AGB＝60° ，∠ABG＝45° ， ∴△ABH 为等腰直角三角形，△AGH 为含 30° 角的直角三角形． 2 6 2 6 ∵AB＝1，∴AH＝BH＝ 2 ，HG＝ 6 .∴BG＝ 2 ＋ 6 .
解：(1)证明：如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE. 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.∴∠DBE＝∠ADB. ∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形． (2)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
解： (1)AG2 ＝ GE2 ＋ GF2. 证明：连接 GC ，由正方形的性质知 AD ＝ CD ，
∠ADG＝∠CDG.又GD＝GD，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE是矩形．∴GF
＝EC.在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2.∴AG2＝GE2＋GF2.
10．(2016·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18， 7 则OF的长为____. 2
11．(导学号69654103)如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上 5 ． 一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE的最小值是____
1 ②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.∴OB＝2BD＝5.设 DF＝BF＝x， ∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在直角△ABF 中，AB2＋AF2＝BF2， 25 25 即 6 ＋(8－x) ＝x ，解得 x＝ 4 ，即 BF＝ 4 .
2 2 2
∴FO＝ BF2－OB2＝
25 15 15 （ 4 ）2－52＝ 4 .∴FG＝2FO＝ 2 .
14．(导学号69654104)(2017·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角 线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
4．(导学号69654099)(2017·兰州)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角 线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
若OE＝，则CE的长为____________. 4 3或 2 3
8．(2017·广东)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形， ∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角． (1)求证：AD⊥BF； (2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．
解：(1)证明：如图，连接DB，DF.∵四边形ABCD，ADEF都是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.∴AB＝AF.又∠BAD＝∠FAD， AD＝AD，∴△BAD≌△FAD(SAS)．∴DB＝DF. ∴D在线段BF的垂直平分线上．∵AB＝AF， ∴A在线段BF的垂直平分线上．∴AD是线段BF的垂直平分线．∴AD⊥BF. (2)∵BF＝BC，BC＝AB＝AF，∴BF＝AB＝AF.
6．(导学号69654101)(2017·孝感)如图，四边形ABCD是菱形， 50 AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为____ 13 ．
7．(导学号69654102)(2017·哈尔滨)四边形ABCD是菱形， ∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD， AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF，∴OE＝OF. 又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴AE＝CF.
(2)∵OA＝OC， OB＝OD， AC＝BD， ∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60° ， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12. 在 Rt△ABC 中，BC＝ AC2－AB2＝6 3. ∴矩形 ABCD 的面积＝AB· BC＝6×6 3＝36 3.
2．(导学号 69654098)(2016· 威海)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4， BC＝6，点 E 为 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为(D ) 9 12 16 18 A.5 B. 5 C. 5 D. 5
3．(2017·南宁)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 点E，F在BD上，BE＝DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
∴△ABF为等边三角形．∴∠BAF＝60°.又AD⊥BF，
∴∠BAD＝∠FAD＝30°.∵AB∥CD，∴∠ADC＝150°.
9．(2017· 青海)如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，Rt△OEF 绕点 O 旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的( A ) 1 1 1 A.4 B.3 C.2 3 D.4
八年级下册数学（人教版）
第十八章 平行四边形
专题训练(四) 特殊平行四边形 的证明与计算
类型一
矩形的证明与计算
1．(2017· 绵阳)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， 过点 O 作 BD 的垂线分别交 AD，BC 于 E，F 两点． 若 AC＝2 3，∠AEO＝120° ，则 FC 的长度为( A ) A．1 B．2 C. 2 D. 3