性质梳理
函数 性质
1
y=x
y=x2 Ｒ [0,+∞)
偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)
y=x3 Ｒ R
奇 增
(1,1)
y=x2
y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}
奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
定义域 值域
奇偶性 单调性
Ｒ R
奇 增
[0,+∞) [0,+∞)
非奇非 偶 增
(4) y x
1 2
(5) y = 2 x2
(6) y = x3+1
牛刀小试2 已知幂函数y=f(x)过点（2,4）求幂 函数的解析式。 • 解：设f(x)= x 因为过点（2,4）， 代入得a=2，所以f(x)= x 2 。
在同一平面直角坐标系内作出幂函数
y x, y x , y x , y x , y x 的图象：
2 3 1 2 1
描点法
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
3
(2,4)
y=x
2
yx
(1,1)2 4Βιβλιοθήκη 61 2(-1,1)
1
yx
-4
1
-2
(-1,-1)
-1
-2
所有的幂函数都 经过定点（1,1）.
-3
性质初探
思考2：注意到所 有的幂函数图像 都不经过第四象 限，并且都经过 第一象限，你觉 得这是偶然还是 必然？ 在幂函数 y = xα 中，取 x = 2，则
一般地，函数 y = xα 叫做幂函数， 其中x是自变量，α是常数. 说明： （1）y = xα 中，x前面的系数是1，并且 后面也没有常数项； （2）要确定一个幂函数，只需要知道常 数α的值即可.
牛刀小试1
判断下列函数是否为幂函数. (1) y = x4 1 (2) y 2 x
(3) y = -x2
函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她 需要付的钱数 p = w 元， 这里p是w的函数. yx
问题2：如果如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 2 S = a2 ， 这里S是a的函数. yx
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积 3 V = a3 ，这里V是a的函数. yx 问题4：如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形 1 1 的边长a = S 2 ， 这里a是S的函数. y x2 问题5：如果t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速 1 度v = t 1 km/s， 这里v是t的函数. yx 思考1：若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来 y x 表示，则它们的函数关系式将是：
2 m
m= –1
小结
(1) 幂函数的定义；
一般地，函数 y = xα 叫做幂函数，其中x是 自变量，α是常数.
(2) 幂函数的性质； (3)幂函数的简单应用.
作业：课本79页 1、2
谢谢大家
y = 2α ＞0，可知这是必然的.
性质初探 思考3：第二象 限和第三象限的 的图像是哪些函 数的图像？你能 总结出规律吗？
当α为奇数时，幂函数是奇函数； 当α为偶数时，幂函数是偶函数.
性质初探 思考4：在第一 象限内，哪些函 数是增函数，哪 些函数是减函数？ 你能总结出规律 吗？ 当α ＞0 时，幂函数是增函数； 当α ＜0 时，幂函数是减函数.
技巧：分子有理化
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
能力提升 如果函数 f ( x) (2m m) x 是幂函 数，并且是奇函数，求满足条件的实数 m的值.
(1,1)
公共点 (1,1)
例1 证明幂函数 f ( x) 上是增函数.
x 在[0，+∞）
证明：任取x1 , x2 [0, ), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2