1
y x2
y x 1
O
x
y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y O
y x2
函数 y x2
定义域 R
x
值 域 （0，+∞）
奇偶性 偶
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
（0， ）增
,增（0，
）增
(,0)减 （0， )减
公共点
(1,1)
幂函数的性质
1
❖ 函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1 的图像都
过点（1,1）
❖ 函数 y x, y x 3 , y x 1 是奇函数，函数 y x2
是偶函数
1
❖ 在区间 (0, )上，函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2
2019人教版必修1第一册第三章
3.3幂函数
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式： ❖ (1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y； ❖ (2)正方形的边长为x，正方形的面积y； ❖ (3)正方体的边长为x，正方体的体积y； ❖ (4)正方形的面积为x，正方形的边长y； ❖ (5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
解（1）函 数y x 0.5在 0，
上是增函数，1.1< 1.4
∴ 1.10.5 比1.较40.幂5 值大小关键是看指数是否相同 （2）函，数y若指x数3在相(同,则 可) 以利用幂函数的单
上是增函调数，性13来判1 断,且的1<大1.5小<1。.7
∴ 1.73 1.53 1
课堂练习
1、下列函数不是幂函数的是（c ）
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
幂函数性质的应用 例1 比较下列各组中值的大小，并说明理由
（1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
4、比较下列各组数的大小：
1
1
(1) 0.752 0.762
(2) (3.14)2 2
5、幂函数y (m2 m 1)xm 在区间(0,+∞)上是减函数，
则m的值为 1
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
3 1.732
O
4
2
5 2.236
1
y x2
x
幂函数的图象
画出函数 y x 3 的图像
x
y
1.5 3.375
1
1
0.5 0.125
0
0
y
y x3
O
x
幂函数的性质
幂函数的图 像都经过哪 一点？
哪些函数是 奇函数？哪 些函数是偶 函数？
每个函数的 单调性如何 ？
y
y x3 y x2 y x
A y x B y x 3C y 2x D y x1
y C1 C2
C3
பைடு நூலகம்
2、如图所示，曲线是幂函数 y x 在
第一象限内的图像，已知α分别取
1 1, 1, , 2
2
C4
四个值，则相应图像以此为 C1 , C 3 , C4 , C 2
O
x
3、若幂函数y=f(x)的图像经过点（9,3），则f(25)= 5
⑤y x0 是
③y x2 x 否 ⑥y 1 否
2、若函数 f (x) (a2 3a 3)x2是幂函数，求a的值。
-1或4
规律 ❖ x 的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
1
函 数 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R
R
奇偶性 奇 偶
R
0,
(,0) （0， ）
R
0,
(,0) （0， ）
奇 非奇非偶 奇
单 调 性
,
增 (,0)减
yx y x2
y x3 1
y x2
y x1
共 同 ❖ 幂的形式
❖ 幂的底是自变量
特 ❖ 幂的指数是常数
征
y x
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数,其中x是自变量，α是常 数。
小试牛刀
1、判断下列函数是否是幂函数?
①y
1 x3
是
②y 2x2 否
④y
(
1)x 2
否
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
幂函数的图象
画出函数 y x, y x2 , y x1 的图像
y y x1 y x2
yx
O
x
幂函数的图象
1
y
画出函数 y x 2 的图像
x
y
0
0
0.5 0.707
1
1
1.5 1.225
2 1.414
是增函数，函数 y x 1 是减函数
❖ 在第一向限内，函数 y x1的图像向上与y轴无限的 接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1