受均匀内压作用的厚壁圆筒：
问题描述：
受均匀内压p=12.5N/mm 2作用的厚壁圆筒。

其几何参数为：内径R i =100mm ，
外径R e =200mm ，桶壁后h=100mm ，材料参数为：E=8666.67Mpa ，v=0.3，
s σ=17.32Mpa ，材料符合Mise 屈服条件。

(a)求理想塑性材料的解，给出应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线，并求完全卸载
后圆筒内的残余应力分布。

(b)求线性强化材料(E 1=0.6E 或E 1=0.6E)的解，即应力r σ和θσ沿径向r 的分布
曲线。

(c)求幂硬化材料的解并绘出当弹塑性比例系数为m=0,1/4,1/2,2/3和m=1.0时，
即应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线。

求解分析：
由于该厚壁筒模型是轴对称模型，所以在求解过程中，我们选取了1/4模型进行了进行建模分析，具体如下图：
建模时取了柱坐标系下厚壁筒从0。

~90。

范围内的部分，高度取为100mm ，模型完成后进行网格的划分，这里利用了Patran 的Mesh Seed 功能，通过在径向、周向，高度方向撒种生成Mesh 网格，网格划分如上图。

考虑到实体的变形情况，关于模型的边界条件，定义如下：
(1)模型的上、下表面为两个平面，在该两平面上限制z 方向的位移为0；
(2)对于模型的内外两圆弧面，为了方便定义边界条件，建立了柱坐标，该两平
是延径向变形的，所以ρ坐标是放开的，为了限制模型的刚体移动，这里限制角坐标θ为0。

(3)对于模型两个侧平面，是属于模型的对称面，所以该两平面的单元在垂直于平面的方向上位移为零，这里利用柱坐标，即沿周向的位移为零，所以同样要限制角坐标θ为0。

由于厚壁筒受到均匀内压，所以在施加载荷时选择均布载荷Pressure，大小为p=12.5N/mm2，作用在内圆弧表面上。

对于材料塑性的定义，首先定义样式模量和泊松比，然后在弹塑性对话框里定义屈服载荷和硬化系数或通过在Stress/Strain Curve栏中添加事先定义的材料属性场来表征弹塑性比例系数m。

对于求解分析，求解器选择Nastran进行计算分析，单元属性选择3D Solid 属性，分析类型定义为非线性并设置大变形和跟随力及载荷增量步等，以此来进行弹塑性的非线性求解。

结果分析：
(a)对于理性塑性材料，即硬化系数为0，求解结果如下：
该图为100%载荷作用下模型的应力云图及变形情况。

观察可知，筒内壁应力较高且首先达到屈服应力发生塑性变形，沿径向方向向外，各层应力逐渐递减，且外层部分属于弹性变形的范畴，模型某一层为弹塑性变形的分界面。

上图为径向方向应力分布图，其中横坐标为相应节点沿径向距圆心的距离，纵坐标为应力值，坐标范围为0~18Mpa,红色曲线中水平直线部分为应力达到屈服应力，在转折点即为弹塑性变形分界面，斜线部分为弹性变形区域，从曲线分析，结果与上图中的应力云图一致。

应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线分别如下：
r σ-r(纵坐标为负值)
θσ-r
(b) 对于线性强化材料，此处选择E 1=0.6E ，分析方法同上，结果如下： 应力云图及变形情况如下：
应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线分别如下：
上图为r σ-r ，下图为θσ-r
(c)对于幂硬化材料，此处选择幂硬化系数m=1/2，当m 取其他值时求解方法同理，由幂硬化材料的特性可知，当σ≤s σ
时，σ=E ε,当σ>s σ时，σ=A m ε，
A=E m 1s -ε，而s ε=s σ/E,当m=1/2时，可得
σ>s σ时，σ=E 2/1s ε1/2ε，所以材料的应
力应变关系属于分段函数，此处选用
Field 应用工具按钮下的材料特性场来定
义材料的幂硬化特性，选择自变量为
Strain(e),通过tobular 表格输入应力与
应变数据如右图所示，相关数据由以上公
式求得，通过各个个节点间的折线逼近应
力应变曲线，节点数越多精度越高，此处
选择10个节点，模拟出的应力应变曲线如下：
然后再定义材料的弹塑性时将该特性场定义到Stress/Strain Curve 中，最后进行分析即可。

此时的应力云图及变形情况如下：
应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线分别如下：
上图为r σ-r ，下图为θσ-r 总应力沿径向的分布图如下：
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。