几何作图一．基本作图：(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差 (2)作一个角等于已知角，以及角的和、差． 1.已知线段a ，画一条线段CD 等于a 2.已知∠α，求作∠AOB=∠α(3)作一个角的平分线 (4)作一条线段的垂直平分线． (5)过一点作已知直线的垂线． 3.已知∠AOB ，求作∠AOB 的 4.已知线段AB ，求作线段AB 5.已知直线AB 和直线外一点C 平分线OC. 的中垂线 过点C 作直线AB 的垂线3．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形． (2)已知两边及其夹角作三角形．(3)已知两角及其夹边作三角形． （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形． (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆． (3)作圆内接正方形和正六边形题型一 应用角平分线、线段中垂线的性质作图【例1】 (2016·衢州)如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD ，BC 于点E ，F (保留作图痕迹，不写作法和证明)．(2)连结BE ，DF ，问：四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．题型二 作三角形【例2】 (2014·无锡)(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2BC ，现以点C 为圆心，CB 长为半径画弧交边AC 于点D ，再以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边AB 于点E ．求证：AE AB ＝5－12(这个比值5－12叫做黄金比)． 2)如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图②中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．(注：作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注．)题型三 通过画图确定圆心【例3】 (2016·南京)如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ． (1)求证：∠D ＝∠F ．(2)用直尺和圆规在AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP (保留作图痕迹，不写作法)．题型四 利用基本作图进行方案设计【例4】 某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100 m ，直角顶点为A ．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC 上找一点D ，连结AD 作为分割线； 方法二：在腰AC 上找一点D ，连结BD 作为分割线； 方法三：在腰AB 上找一点D ，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，DE 作为分割线；方法四：以顶点A 为圆心，AD 为半径作弧，交AB 于点D ，交AC 于点E ，DE ︵作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是( )A.方法一 B ．方法二 C ．方法三 D ．方法四 题型五 利用网格进行作图【例5】.（2016·黑龙江哈尔滨·7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）如图1，点P 在小正方形的顶点上，在图1中作出点P 关于直线AC 的对称点Q ，连接AQ 、QC 、CP 、PA ，并直接写出四边形AQCP 的周长；（2）在图2中画出一个以线段AC 为对角线、面积为6的矩形ABCD ，且点B 和点D 均在小正方形的顶点上．基础巩固题组一、选择题1．(2015·福州)如图，C ，D 分別是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为( ) A ．80° B ．90° C ．100° D ．105°2．(2015·深圳)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得P A ＋PC ＝BC ，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3．(2015·衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB ＝c ，一条直角边BC ＝a .小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是( ) A ．勾股定理 B ．直径所对的圆周角是直角 C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 4．(2016·河北)如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 下列叙述正确的是( ) A ．BH 垂直平分线段AD B ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC ＝BC ·AHD ．AB ＝AD5．(2016·丽水)用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是( )A. B. C. D.二、填空题6．(2016·吉林)如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，作直线CD 交AB 于点E ，在直线CD 上任取一点F ，连接F A ，FB .若F A ＝5，则FB ＝ .7．(2015·潍坊)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF .若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是________．8．(2016·深圳)如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为________． 9．(2015·北京)阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下： 如图，(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点； (2)作直线CD .所以直线CD 就是所求作的线段AB 的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是________________________________________________ 三、解答题10．(2016·陕西)如图，已知△ABC ，∠BAC ＝90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)．11．(2016·达州)如图，在▱ABCD 中，已知AD ＞AB .(1)实践与操作：作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，在AD 上截取AF ＝AB ，连接EF (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想并证明：猜想四边形ABEF 的形状，并给予证明．12．已知△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝40°.(1)求作：⊙O ，使得⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；（2）求证：BC 是(1)中所作⊙O 的切线．尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB .求作：线段AB 的垂直平分线．13、（2014•江西，第17题6分）已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图。

（1）在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；（2）在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形。

14.（2016·福建龙岩·12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）能力提升题组15．(2016·陕西)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.16．(2015·江西)⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，AC＝BC；(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC.17．(2015·广州)如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．18．(2015·随州)如图，射线P A切⊙O于点A，连接PO.(1)在PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OP A(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若PC切⊙O于点B，AB＝AP＝4，求AB的长．19．(2016·咸宁)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,1)，取一点B(b,0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.(1)当b＝3时，在图1中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P 竟然在一条曲线L上！①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1＋d2的范围；当d1＋d2＝8时，求点P的坐标；③将曲线L在直线y＝2下方的部分沿直线y＝2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y＝kx＋3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．答案基础巩固题组一、选择题1．(2015·福州)如图，C，D分別是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为()A．80° B．90°C．100° D．105°解析∵由作图可知，点M在以AB为直径的⊙C上，∴根据直径所对的圆周角是直角的性质得∠AMB＝90°.答案B2．(2015·深圳)如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A＋PC＝BC，则下列选项正确的是()A. B. C. D.答案D3．(2015·衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径解析 小明的作法是：①取AB ＝c ，作AB 的垂直平分线交AB 于点O ；②以点O 为圆心，OB 长为半径画圆；③以点B 为圆心，a 长为半径画弧，与⊙O 交于点C ；④连接BC ，AC ，则Rt △ABC 即为所求．从以上作法可知，∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 答案 B4．(2016·河北)如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 下列叙述正确的是( )A ．BH 垂直平分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC ＝BC ·AHD ．AB ＝AD解析 AD 相当于一个弦，BH ⊥AD ，CH ⊥AD ，故B 、D 两项不一定正确；C 项面积应除以2. 答案 A5．(2016·丽水)用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是( )A. B. C. D.解析 A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，符合题意． 答案 D 二、填空题6．(2016·吉林)如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，作直线CD 交AB 于点E ，在直线CD 上任取一点F ，连接F A ，FB .若F A ＝5，则FB ＝ .解析 由题意可知，直线CD 是线段AB 的垂直平分线， ∵点F 在直线CD 上，∴FB ＝F A ＝5. 答案 57．(2015·潍坊)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF .若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是________．解析 ∵根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线， ∴AE ＝DE ，AF ＝DF ，∴∠EAD ＝∠EDA ， ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴∠EDA ＝∠CAD ，∴DE ∥AC ， 同理可得，DF ∥AE ， ∴四边形AEDF 是菱形， ∴AE ＝DE ＝DF ＝AF ，∵AF ＝4，∴AE ＝DE ＝DF ＝AF ＝4， ∵DE ∥AC ，∴BD CD ＝BEAE ，∵BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3， ∴63＝BE4，∴BE ＝8. 答案 88．(2016·深圳)如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为________．解析根据作法可知：BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴DE＝AD－AE＝5－3＝2.答案29．(2015·北京)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；(2)作直线CD.所以直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是________________________________________________________________________________________________________________________.答案到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线三、解答题10．(2016·陕西)如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)．解过点A作AD⊥BC于点D，利用等角的余角相等可得到∠BAD＝∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．作图如下图所示．11．(2016·达州)如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB.(1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．解(1)作图如图所示：(2)四边形ABEF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，由(1)得：AF＝AB，∴BE＝AF，∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形．12．已知△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.(1)求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC是(1)中所作⊙O的切线．解(1)作出线段AC的垂直平分线进而得出AC的垂直平分线与线段AB的交点O，进而以AO为半径做圆即可．作图如图所示．(2)证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∠A＝25°，∴∠BOC＝50°.又∵∠B＝40，∴∠BOC＋∠B＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．能力提升题组13．(2016·陕西)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.解析如图，连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P，此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴BO＝DO＝32×2＝3，∴BD＝2BO＝23，∴PD最小值＝BD－BP＝23－2.答案23－214．(2015·江西)⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，AC＝BC；(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC.解(1)如答图1，连接CO并延长交⊙O于点D，交AB于点E，则弦CD即为所求．＝BC，∴点C是AB的中点，∵AC＝BC，∴AC BC∵由垂径定理得，AE＝BE，CE⊥AB，∴S△ACE＝S△BCE，∴CD为所求作的弦．答图1(2)如答图2，连接PO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，连接AE并延长交⊙O于点F，则弦AF即为所求．∵l切⊙O于点P，且l∥BC，∴PD⊥BC，∵由垂径定理知，BE＝CE，∴S△ABE＝S△ACE，∴AF为所求作的弦．答图215．(2015·广州)如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．解(1)作图如图所示：(2)如答图，连接OD ，设⊙O 的半径为r ， ∵∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE ，在Rt △ACB 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝12AC ＝r ，∵OD ＝OC ，∴∠ABD ＝∠ACD ＝45°， ∴∠DOC ＝90°，在Rt △ODC 中，DC ＝OD 2＋OC 2＝2r ， ∴S △ABE S △CDE ＝⎝⎛⎭⎫AB DC 2＝⎝⎛⎭⎫r 2r 2＝12.16．(2015·随州)如图，射线P A 切⊙O 于点A ，连接PO .(1)在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC ＝∠OP A (用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC 是⊙O 的切线；(2)在(1)的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB ＝AP ＝4，求AB 的长．解 (1)如图所示，即为所求作的图，连接OA ，过O 作OB ⊥PC ， ∵P A 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥P A ， 又∵∠OPC ＝∠OP A ，OB ⊥PC ，∴OA ＝OB ，即d ＝r ，∴PC 是⊙O 的切线． (2)∵P A 、PC 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ， 又∵AB ＝AP ＝4，∴△P AB 是等边三角形， ∴∠APB ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∠POA ＝60°， 在Rt △AOP 中，tan60°＝AP OA ＝4OA ＝3，∴OA ＝433，∴AB 的长＝120π×433180＝839π.17．(2016·咸宁)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,1)，取一点B (b,0)，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线l 1，过点B 作x 轴的垂线l 2，记l 1，l 2的交点为P . (1)当b ＝3时，在图1中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)小慧多次取不同数值b ，得出相应的点P ，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P 竟然在一条曲线L 上！①设点P 的坐标为(x ，y )，试求y 与x 之间的关系式，并指出曲线L 是哪种曲线；②设点P 到x 轴，y 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1＋d 2的范围；当d 1＋d 2＝8时，求点P 的坐标； ③将曲线L 在直线y ＝2下方的部分沿直线y ＝2向上翻折，得到一条“W ”形状的新曲线，若直线y ＝kx ＋3与这条“W ”形状的新曲线有4个交点，直接写出k 的取值范围．解 (1)作图如答图所示．(2)①当x ＞0时，如答图2，连接AP ，过点P 作PE ⊥y 轴于点E . ∵l 1垂直平分AB ，∴P A ＝PB ＝y ，在Rt △APE 中，EP ＝OB ＝x ，AE ＝OE －OA ＝y －1， 由勾股定理得：(y －1)2＋x 2＝y 2， 整理得：y ＝12x 2＋12.当x ≤0时，点P (x ，y )同样满足y ＝12x 2＋12，∴曲线L 就是二次函数y ＝12x 2＋12的图象，即曲线L 是一条抛物线．②由题意可知，d 1＝12x 2＋12，d 2＝|x |，∴d 1＋d 2＝12x 2＋12＋|x |，当x ＝0时，d 1＋d 2有最小值12，∴d 1＋d 2的范围是d 1＋d 2≥12.当d 1＋d 2＝8时，12x 2＋12＋|x |＝8.(Ⅰ)当x ≥0时，原方程化为12x 2＋12＋x ＝8，解得：x 1＝3，x 2＝－5(舍去)．(Ⅱ)当x ＜0时，原方程化为12x 2＋12－x ＝8，解得：x 1＝－3，x 2＝5(舍去)． 将x ＝±3代入y ＝12x 2＋12，得y ＝5，∴点P 的坐标为(3,5)或(－3,5)． ③k 的取值范围是：－33＜k ＜33. 解答过程如下(过程不需写)：把y ＝2代入y ＝12x 2＋12，得x 1＝－3，x 2＝3，∴直线y ＝2与抛物线y ＝12x 2＋12两个交点的坐标为(－3，2)和(3，2)．当直线y＝kx＋3过点(－3，2)时，可求得k＝3 3，当直线y＝kx＋3过点(3，2)时，可求得k＝－3 3，故当直线y＝kx＋3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－33＜k＜33.。