变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验(σ 1-
σ
3)~ε
a曲线，即：1 3

a
a b a
（1）。
其中，σ 1和σ 3分别为最大和最小主应力；对于常规三轴
压缩试验，a 1 。
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被
广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang）模
峰值点的情况，取 (1 3) f (1 3)峰 ,这样 (1 3) f (1 3)ult
定义破坏比 Rf 为：
Rf
(1 3) f (1 3 )ult
(7)
Rf 值一般在0.75~1.0之间 b 1
Rf
(8)
(1 3 )ult (1 2 ) f
力（1 ， 3 ）时的切线模量的邓肯－张计算公式：
Et

Kpa
(
3
paห้องสมุดไป่ตู้
)
n
1
Rf (1 3)(1 sin) 2
2c cos 23 sin

(15)
Duncan等人根据一些试验资料，假定在常规三轴压缩试验中 轴向应变ε 1与侧向应变-ε 3之间也存在双曲线关系：

(12)
根据莫尔－库仑强度准则，有
(1 3) f

2ccos 23 sin 1 sin
(13)
又有
Ei

KPa

(
3
Pa
)
n
(14)
K、n为无因次基数和无因次指数，Ei为初始切线模量
，Ei＝1/a, Pa大气压力。
将式（13）和式（14）代入式（12）则得到任一应
模型的改进
• 1.考虑高固结压力的影响 土体在高围压下的变形性状与低围压情况下有所不同,
土体强度包线不呈直线,而是呈向下微弯的曲线。这表明有 效强度指标内摩擦角ψ 随围压σ 3的增加而降低了。为了反映 这种变化, 可以用折线来代替曲线, 也就是在不同的压力范 围用不同的强度指标。围压低于σ A 用ψ 1 , 围压高于σ A 用 ψ 2 。另一种方法是将内摩擦角ψ 表示成固结压力σ 3 的某 种函数, 常用公式：ψ =ψ 0 -Δ ψ lg(σ 3/ pa)
,Duncan又提出用切线弹性模量Et和体积模量B来表示Duncanchang模型。其中切线弹性模量Et不变，引入了体变模量B来 代替切线泊松比，作为约束压力σ 3的函数。
B E
3(1 2)
（20）
在三轴试验中用下式确定B：
B (1 3 )70% 3( )70%
（21）
其中(σ 1-σ 3)70%与(ε ʋ)70%为 σ 1-σ 3 达到70%(σ 1-σ 3)f时
（18）
vt
G F lg(3 / pa )
2

1
Kpa
(3 pa
)n
D(1 3)
1
Rf (1 3)(1 sin) 2c cos 23 sin


（19）
由于采用泊松比对土体临近破坏前后的模拟比较困难
Et

a
a

ab(1 3) 1 b(1 3)
2

1
a
1

1
b(1 3) b(1 3
)

2

1
a
1

1 b(1
2


3
)

(11)
将式（8）、式（4）代入式（11），得
2
Et
Ei
1 Rf
1 3 (1 3 ) f
型。
常规三轴压缩试验的结果按
1 1 2
a b1
（2）
的关系进行调整，其中a为截距，b为斜率
在常规三轴压缩试验中，由于 d2 d3 0 ，所以切
线模量为
Et

d (1 3 ) d1

a
(a b1)2
(3)
在试验的起始点，
则：
Ei
1 a
(4)
这表明a是在这个试验中的起始变形模量(初始切线

有关，将它画
3
在单对数坐标中，可假设是一条直线，见图(c)，这样:
vi f G F lg(3 / p3)
G,F为试验常数，其确定见图(c)。
（17）
将式（16）微分，得：
vt
d3 d1

(1

D1) f D1 (1 D1)2
f

(1
vi D1)2
将16,17代入可得：
的偏差应力和体应变的试验值。这样对于每一个σ 3为常数的
三轴压缩试验，B就是一个常数。
试验证明B与σ 3有关，二者关系在双对数坐标中可近似
为一直线，这样：
B

Kb
Pa
( 3
Pa
)m
（18）
其中Kb和m是材料常数，分别为 lg(B / Pa )与 lg( 3 / Pa ) 直线
关系的截距和斜率。
将式（8）、式（4）代入式（3）中，得
2


Et

1 Ei


1

Ei

1 Rf
(1 3 ) f

1

(9)
式（9）中 Et 表示为应变 1 的函数，可将 Et 表示为应
力的函数形式。从式（1）可以得到
1

a(1 3 ) 1 b(1 3)
(10)
将式（10）代入式（3），得
或
1
f
3 D(3 )
（15）
3 1

f
D 3
（16）
式（16）可以看出，试验得到的-ε 3/ε 1 与-ε 3 的关系
为直线关系，当 -ε 3
0(时3 /，1)30 f vi
初始泊松比，D为斜率（见图（b））。
，即为
试验表明土的初始泊松比
vi 与试验围压
模量)的倒数。
在式（1）中，如果 1 ，则：
(1
3 )ult

1 b
(5)
或者 :
b 1
(1 3 )ult
(6)
由此可看出b代表的是双曲线的渐进线所对应的极
限偏差应力 (1 3 )ult 的倒数。
在试验中

不可能无限大，求取
1
(1
3 )ult
；对于有
邓肯张模型
邓肯-张本构模型
该模型是一种建立在增量广义虎克定律基础上 的非线性弹性模型，可经反映应力～应变关系的非 线性，模型参数只有８个，且物理意义明确，易于 掌握，并可通过静三轴试验全部确定，便于在数值 计算中运用，因而，得到了广泛地应用。
邓肯张应力应变关系之双曲线图
1963年，康纳（Kondner）根据大量土的三轴试验的应力应
2.考虑σ 2的对强度和变形的影响 2.1.将原邓肯—张模型中的侧限压力σ 3 用(σ 2+σ 3)/2 来代 替, 偏应力σ 1-σ 3 用σ 1-(σ 2+σ 3)/ 2 来代替, 摩尔—库 仑(Mohr-Coulomb)准则不变 2.2.作为三维计算中的一种近似模拟方法, 用球应力p 、广 义剪应力q 分别代替二维计算模型中相应于σ 3 和σ 1-σ 3的 位置,保持摩尔— 库仑准则不变,