0 , N 1,n N 1:|a n a|2 (M 1 ),
N2,nN2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , 得 x | a n b n a { | .b
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
解
原式
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
lim2
n
lim5
n
lim3 n n lim4 n n
lnim n42 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计算 li( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
n
证明： 由不等式
a k n a k n n a 1 n a 2 n a k n n k k n a k
由夹逼定理
lim na1 na2 n ak nak
n
经典例题
例6 已 l n i a n m 知 a ,求 l n i a 1 m 证 a 2 n a n a .
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a，那么它的任 一子数列也收敛于 a.
数列子列
证明 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
ln im xna, 故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 nN时，
|xna| 成立。
取 KN, 则当 kK时，n k n K n N N .
证明： a1a2 ana n
(a 1 a ) (a 2 a ) (a n a ) n
令 nana 则ln i mn0，上式变为
12 N n
n
经典例题
0 , N N * ,n N 时 n ， 2 12 N n
n
|12 N|(nN)
n
n2
lim 12 N0,
n
n
N 1N *,使 nN 1 时 |12 n N|2,
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1 时 1 ,于是
1
11
liman
n
1
lim1n
1. 1
na
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lim na1 na2 n ak nak
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
|
bn
b||
b|, 2
且此 |bn时 ||b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
又lim n lim 1 n n2 n n 11
1,
n
lim n ln12
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a0求 , :l证 ia m n 11 n
证 先 a 1 设 当 ,n a 时 ,有
n
n
s n ( s n s 1 ) ( s n s 2 ) ( s n s n 1 ) n
nns (s1n s2 sn)sn(s1 nsn)由0.例6
四、子列极限
数列子列
定义2.2 在数列 {an }中按照先后次序任意抽取
无限多项这样得到的一个数列称为{a nk }
原数列的子数列，简称子列.
1 2 n .
n
22
经典例题
例7 证明 若 l n （ ia m 1 a 2 a n ） s ,
则 li（ m a 1 2 a 2 nn ） a 0 ,
n
n
证明： 令 s i a 1 a 2 a i,则 l i i s i m 0 .
（ a 1 2 a 2 n n ） a s n （ a 2 ( n 1 ) a n ）
于 x n k 是 a | ,证 ｜ l n i x n k m 得 a .
五、 无穷小
无穷小
定义2.3：如果收敛{an数 }的列 极限 0,那 为么 这个数列称为,无 简穷 称小 无.列 穷小
定理2.7 1o{an}为无穷小的充 {|an要 |}为条 无件 穷 ; 是 小
2o两个无穷 (或 小 )差 仍 之是 和无 ; 穷小
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N x 2 }{ ,上两式同时成立,
即 a a n a , a c n a ,
当nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得 式; 可
( 2 ) |a n b n a | |a n b b n a n a b n a b | b
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有 ， |b n 界 |可 M 和 得