fx1fx2.
f C [ a ,b ] ,则 f在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
定理1（康托定理）若 f C [ a ,b ] ,则 f 在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
证明：反证法 假设f在I上不一致连续，
00, nN*,
sn,tna,b,
sntn
1： n
f(sn)f(tn)0.
令 k 可 知 f(x*)M .
同理可证： x* [a,b]： f(x*)m . 结论得证
连续函数应用：方程求根
定理 4（零点存在定理） 若 fC[a,b],
且 f ( a ) f ( b ) 0 , 则 存 在 ( a , b ) ， 使 f () 0 .
证明： 不 妨 设 f(a)0 ,f(b )0 .
[a,b]二等分
f(ab)0,ab,
2
2
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a,a 2b],
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a 2b,b ].
重复上述步骤，得闭区间套：
[ a , b ] [ a 1 , b 1 ] [ a 2 , b 2 ] [ a n , b n ] , ln i(m bnan)ln ib m 2na0. 满足：f(an)0,f(bn)0
根 据 柯 西 收 敛 准 ， lim f(x )存 在 .
x a
同理limf(x)存在. xb
结论得证
推论2 f C a ,b ,且 f( a ) 和 f( b ) 存 , 在
则 f在 (a,b)一 致 连 续 .
证明： 令 lif( m x ) A ,lif( m x ) B .
x a
证明：不f妨 (a ) 设 f(b )令 ,g (x )f(x ), g (a ) f(a ) 0 , g (b )f(b ) 0 ,
所 以 ( a ,b ) ,使 g () 0 ,即 f() .
推论 4
若 f C [a,b]则 , f能取 M 和 m 到 之间的 . 任
其m 中 f(),M ， f()
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
证明： 由 推 论 1 ， f(a )， f(b )存 在 .
f(a) xa,
F (x)
f (x)
x(a,b),
f(b) xb.
结论得证
推论1 f在 (a,b)内一致f连 (a)， 续 f(b ， )存则 .在
证明： 根 据 f在 (a,b)内 一 致 连 续 ，
0, 0, x1,x2 (a,b),|x1x2|:
|f(x1)f(x2)|.
x1,x2 (a,a/2),
0 x 1 a / 2 , 0 x 2 a / 2 ： |f ( x 1 ) f ( x 2 ) | .
推论 5 f C [ a , b ] x 1 , , x 2 , , x n [ a , b ].
若 存 在 正 实 数 1 ,2 ,,n 满 足 1 2 n 1 ，
则存在 一 [a,b]使 点得
f ( ) 1 f ( x 1 ) 2 f ( x 2 ) n f ( x n ).
n U
i1
xi;xi
/2覆盖a,b，取
min 1in
xi
/2.
x 1 ,x 2 a ,b ， 当 x 1 -x 2,
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
由闭区间套定理：
n 1 [a n ,b n ]，使 ln i a 得 m nln i b m n .
从而 令 n ， f() 0 且 f() 0 ，
得到f()0.
结论得证
定理5 （介值定理）
设 间 的 任 意 实 数 ,则 存 在 c (a,b),使 f(c).
由 函 数 的 连 续 性 ， x0[a,b],Ux0;x , 0
Mx 0,xUx0;x : fxMx.
0
0
0
Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
证明： 令 m m in { fx } ,M m a x { fx } .
x b
F
(x)
A
f (x)
xa, x(a,b),
B xb.
结论得证
F (x)在 [a,b]内 一 致 连 续 即f在(a,b)内一致连 . 续
推论3 f在(a,b)内一致连 续
f在 ( a ,b ) 连 续 ,且 f( a ) ,f( b ) 存 在 .
提 出 问 题 3 : f C a , b ,f 在 a , b 上 是 否 有 界 ？
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
n N * a, xx b n [a,b]:M n 1f(xn)M ,
所 以 x n [ a ,b ] ,有 子 列 收 敛 ， 设
lki mxnk x*[a,b]，Mn1k f(xnk)M.
由 于 s n a ,b ,必 有 收 敛 子 列 { s n k } ,
lki m snk sa,b.因此lni mtkn s.
limf(snk)f(tnk) f(s)f(s)0, k
矛盾，结论得证
提出问题2： 1)有限开区间上的连续函数是否一致连续？ 2)有限开区间上的连续与一致连续函数特征？
则 F (x)在 [a ,b ]有界f(x ， )在 (a ,b 所 )上以 .有
定理3 (最大值与最小值存在定理）
设fC[a,b],则f必能取到最大值 值 . 和
记 M x s u [ a p ,b ]f ( x ) ,m x i n [ a f ,b ]f ( x ) ,则 存 在 x * ,x * [ a ,b ] ,使