必修4三角函数综合测试题及答案详解
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角
B ．第三象限的角必大于第二象限的角
C ．－831°是第二象限角
D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π
6的值为( ) A ．0 B.3
3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ
2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上
4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π
2
5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( )
A.4
3π B.76π C.53π
D.116π
6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )
7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6
D.11π6
8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ
sin θ＋2cos θ的值为( )
A ．0
B ．1 C.34 D.54
9．函数f (x )＝tan x
1＋cos x
的奇偶性是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点
11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg
1
1－cos A ＝n ，则lgsin A 的值是( )
A ．m ＋1
n B ．m －n C.12⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋1n D.1
2(m －n )
12．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，
①图象C 关于直线x ＝11
12π对称； ②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π12，5π12内是增函数；
③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0，则tan α＝________.
14．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．
15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
16．给出下列命题：
①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23x ＋π2是奇函数；
②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；
③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴；
⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12，0成中心对称．
其中正确命题的序号为__________．
三、解答题
17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， 求
sin (π－α)＋5cos (2π－α)
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－α－sin (－α)
的值．
18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2
2，求tan A 的值．
19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；
(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？
20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12，0，图象
与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，5.
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围．
21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2－α
＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．
22．(12分)已知函数f (x )＝x 2
＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2.
(1)当θ＝－π
6时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．
必修4三角函数综合测试题答案
一、选择题
1． D ；2． D ；3． D ；4． A ；5． B 6． D ；7． D ；8． C ；9． A ；10． B 11． D ；12． C 二、填空题
13． －22；14． 3π；15． 3
2；16． ①④ 三、解答题
17．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．
∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0. ∴原式＝sin α＋5cos α
－2cos α＋sin α
＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α
＝
3cos α
－4cos α＝－34.
18．解 ∵sin A ＋cos A ＝
2
2
，① 两边平方，得2sin A cos A ＝－1
2， 从而知cos A <0，∴∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π.
∴sin A －cos A ＝ (sin A ＋cos A )2－4sin A cos A
＝
12＋1＝6
2.②
由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋24，
∴tan A ＝sin A
cos A ＝－2－ 3. 19． 解 (1)T ＝2π
2＝π.
(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3，k ∈Z .
所以所求的单调减区间为 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移3
2个单位，即得函
数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6＋32的图象．
20． 解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π
4，∴T ＝π.
∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－
π6，又A ＝5， ∴y ＝5sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6.
(2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π
2(k ∈Z )．
∴x ＝k π＋π
3(k ∈Z )．
(3)∵5sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．
∴k π－5π12≤x ≤k π＋π
12(k ∈Z )．
21． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32π＋β，即sin α＝2sin β①
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋β，即3cos α＝2cos β②
①2＋②2得，2＝sin 2α＋3cos 2α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝12.∴cos α＝±2
2. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝3
4π.
(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝3
2，
又β∈(0，π)，∴β＝π
6.
(2)当α＝3π4时，cos α＝－2
2， cos β＝
32
cos α＝－32，
又β∈(0，π)，∴β＝5π6. 综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π
6. 22． 解 (1)当θ＝－π
6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －332－4
3.
∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－4
3， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为23
3.
(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.
∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.
∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π
2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。