1、（本题5分）试确定722作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。

解 因为722=3.142857…=1103142857.0-⨯π=3.141592…所以31210211021005.0001264.0722--⨯=⨯=<=-π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知722作为π的近似值具有3位有效数字。

（1分）而相对误差限310210005.00004138.0001264.0722-⨯=<≈=-=πππεr （2分）2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--654131321112321x x x ； 解 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111111131321112323121321323121l l l d d d l l l LDL A T由矩阵乘法得：57,21,21527,25,2323121321-==-==-==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1,-==解得TTx y )923,97,910(,)563,7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321321431x x x x x x x x x x x x x x1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x xxx x x x x x x x （2分）Gauss-Seidel 迭代格式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=----=+-=+--=++++++++++7)2217()8()2323(8)311(10)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x xxx x x x x x x x （2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=72211823038151010A 是严格对角占优的，所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。

（2分）4、（本题6分）已知方程08.023=--x x在5.10=x 附近有一个根。

将此方程改写成如下2个等价形式：8.0,8.0332-=+=x x x x构造如下两个迭代格式： 1） ,2,1,0,8.0321=+=+k x x k k 2） ,2,1,0,8.031=-=+k x x k k判断这两个迭代格式是否收敛； 解 1）记328.0)(x x +=ϕ，则322)8.0(32)('x x x +=ϕ，14755.005.31)5.18.0(1)5.18.0(35.12)5.1('32322322<==+=+⨯=ϕ （2分）所以该迭代格式是局部收敛的。

（1分） 2）记8.0)(3-=x x ϕ，则8.023)('32-=x xx ϕ，1103.28.05.125.13)5.1('32>=-⨯=ϕ （2分）所以该迭代格式是发散的 （1分） 5、（本题6分）设23)()(a x x f -= （1）写出解0)(=x f 的牛顿迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。

解 （1）因23)()(a x x f -=，故)(6)('32a x x x f -=，由牛顿迭代公式 )(')(1n n k k x f x f x x -=+， ,1,0=k （1分）得kk k k k k k x a x a x x a x x x 665)(6)(32231+=---=+， ,1,0=k （2分）（2）因迭代函数2665)(x a x x +=ϕ，3365)('xax -=ϕ， （1分）3*a x = 故021)(365)('33*≠=-=a ax ϕ此牛顿迭代格式是线性收敛的。

（2分） 6、（本题9分）给定数据（1） 写出)(x f 的3次Lagrange 插值多项式)(3x L ； （2） 写出)(x f 的3次Newton 插值多项式)(3x N ； 解 （1）由题意知5,3,2,03210====x x x x2)(,4)(,3)(,1)(3210=-=-==x f x f x f x f +------=))()(())()(()()(30201032103x x x x x x x x x x x x x f x L+------))()(())()(()(3121013201x x x x x x x x x x x x x f+------))()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x f))()(())()(()(2313032103x x x x x x x x x x x x x f ------ （3分）+------⨯-+------⨯=)52)(32)(02()5)(3)(0()3()50)(30)(20()5)(3)(2(1x x x x x x)35)(25)(05()3)(2)(0(2)53)(23)(03()5)(2)(0()4(------⨯+------⨯-x x x x x x)5)(3(21)5)(3)(2(301-------=x x x x x x)3)(2(151)5)(2(32--+--+x x x x x x （2分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表（3分）则有)3)(2)(0(51)2)(0(31)0(21)(3---+--+--=x x x x x x x N)3)(2(51)2(3121--+-+-=x x x x x x （1分）7、（本题6分）作一个5次多项式)(x H 使得2)4(',1)2(',2)1('3)4(,1)2(,3)1(====-==H H H H H H解 构造有重节点的牛顿插商表（4分） 则有)2()1(11)1(6)1(23)(22--+---+=x x x x x H )4()2()1(3655)2()1(6252222---+---x x x x x （2分）8、（本题6解 设x x y y =-=-3,14，则上表可化为这时，取2210)(,)(,1)(x x x x x ===ϕϕϕ，并设所求二次多项式为)()()()(2*21*10*0*2x a x a x a x ϕϕϕϕ++=，容易得到 71),(33200==∑-=i ϕϕ，0),(3310==∑-=i i x ϕϕ，28),(33220==∑-=i i x ϕϕ28),(33211==∑-=i ixϕϕ，0),(33321==∑-=i ixϕϕ，196),(33422==∑-=i ixϕϕ4),(330==∑-=i i y y ϕ，5),(331==∑-=i i iy xy ϕ，31),(3322==∑-=i i iy xy ϕ （3分）得正规方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+31196285284287*2*0*1*2*0a a a a a 解得285,285,71*2*1*0==-=a a a 即228528571x x y ++-= （2分）回代得2)3(285)3(2857114-+-+-=-x x y （1分）9、（本题5分）给定求积节点,43,4110==x x 试推出计算积分⎰10)(dx x f 的插值型求积公式解 由于43,4110==x x 所以 )34(21434143)(0--=--=x x x l （1分）)14(21414341)(1-=--=x x x l （1分） 21)34(21)(1100=--==⎰⎰dx x dx x l A （1分）21)14(21)(10111=-==⎰⎰d x x d x x l A （1分）故求积公式为)]43()41([21)(10f f dx x f +≈⎰ （1分） 10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：⎰91dx x 4=n解 （1）用梯形公式 4=n ，2419=-=h2277402.17)]9()(2)1([2314≈++=∑=f x f f h T i i （3分）（2）用辛普森公式 332087.17)]9()(2)(4)1([6313214≈+++=∑∑==+f x f xf f h S i i i i （3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式)()()(11001x f A x f A dx x f x +≈⎰的系数.,,1010x x A A 及节点解 令为权的二次正交多项式构造以x x x x =∈=)(],1,0[,1)(0ρϕ：)()()()()()()(01122011x x x x x x x ϕβϕαϕϕαϕ--=-= （1分）由53),(),(101102100001===⎰⎰dxxxdxxx ϕϕϕϕα 得 53)(1-=x x ϕ再由5111111.04523)53()53(),(),(10221210111112≈=--==⎰⎰dx x x dxx x xx ϕϕϕϕα （2分） 06857.017512)53(),(),(10112100111≈=-==⎰⎰dxxdxx x ϕϕϕϕβ （1分）得23809666.011111.106857.0)53)(4523()(22+-=---=x x x x x ϕ所以0)(2=x ϕ的根为821159.0,289951.010==x x （2分）389112.0)(277555.0)(1101111101100≈--==≈--==⎰⎰⎰⎰dx x x x x xdx x l x A dx x x x x x dx x l x A （2分）12、（本题6分）设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。

若n k <，试证)()(x f x L n ≡。