. ;. 指数函数

一、考纲点击 1．了解指数函数模型的实际背景； 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。 二、热点、难点提示 1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点. 2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想. 3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念 符号表示 备注 如果nxa,那么x叫做a的n次方根 1nnN且 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 na 零的n次方根是零

当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 (0)naa 负数没有偶次方根

（2）．两个重要公式 ①(0)(0)nnnanxaaaaanaa为奇数为偶数；

②()()nnnaaaa注意必须使有意义。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正整数指数幂:()nnaaaanN个;

②零指数幂:01(0)aa; ③负整数指数幂:1(0,);ppaapNa . ;. ④正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且; ⑤负分数指数幂: 11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0图象

定义域 R 值域 （0，+）

性质 （1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,00时，0x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数

思考：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 【热点难点全析】 一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接 . ;. (1)分数指数幂与根式根据*(,,,)mmnnaaa0mnNn1＞且＞可以相互转化. (2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a 写成12a等必须认真考查a的取值才能决定,如,2244111而1211无意义.

(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算. (4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.

指数幂的化简与求值的原则及结果要求

（1）化简原则 ①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序. 注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。 （2）结果要求 ①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。 2．例题解析

〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa； （2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[( 分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。 （2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。

解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa 232316165313131313

1

2)2(aaaaaabaabaa

； . ;. （2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[( 922)2917(21]1024251253794[

〖例2〗已知11223xx，求22332223xxxx的值 解：∵11223xx， ∴11222()9xx， ∴129xx， ∴17xx， ∴12()49xx， ∴2247xx，

又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，

∴223322247231833xxxx 二、指数函数的图象及应用 1．相关链接 （1）图象的变换 1()()yfxyfxa、 ()()+byfxyfx2、

()()yfxyfx3、 ()()yfxyfx4、 ()()yfxyfx4、 5()()yfxyfx、 6()()yfxyfx、 7()()yfxyfx、 .

;. （2）从图象看性质 函数的图象直观地反映了函数的基本性质 ①图象在x轴上的投影可得出函数的定义域； ②图象在y轴上的投影可得出函数的值域； ③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值； ④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数； ⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。 （3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质： 对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解. （4）利用图象解指数型方程、不等式： 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.

2．例题解析 〖例1〗已知f(x)=|2x-1| (1)求f(x)的单调区间. (2)比较f(x+1)与f(x)的大小.

(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数. 【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解. (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.

(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.

解析：(1)由f(x)=|2x-1|=,.,xx21x012x0＜可作出函数的图象如图.

因此函数f(x)在(-∞,0)上递减；函数f(x)在(0,+∞)上递增. (2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示. . ;. 由图象知,当||00x1x2121时,解得,022xlog3 两图象相交,从图象可见,当22xlog3＜时,f(x)＞f(x+1)； 当=22xlog3时,f(x)=f(x+1); 当22xlog3时,f(x)＜f(x+1). (3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.

〖例2〗已知函数y=(13)|x+1|。 （1） 作出图象； （2） 由图象指出其单调区间； （3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。 分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。

解答：（1）由已知可得 1|1|11(1)1,333(1)xxxxyx

















其图象由两部分组成： . ;. 一部分是： 1111()(0)()(1);33xxyxx向左平移个单位 另一部分是：113(0)3(1).xxyxyx向左平移个单位 图象如图：

（2）由图象知函数在(,1]上是增函数，在(1,)上是减函数。 （3）由图象知当1x时，函数有最大值1，无最小值。 三、指数函数的性质及应用 1、相关链接 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域； ②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； ③分层逐一求解函数的单调性； ④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。 2、例题解析

〖例1〗(1)函数2x11y327的定义域是______. (2)函数1()32x4x3fx的单调递减区间为______,值域为______. (3)已知函数xxa1fxa1 (a＞0且a≠1) ①求f(x)的定义域和值域； ②讨论f(x)的奇偶性； ③讨论f(x)的单调性. 【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的 求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.

解析：(1)由题意知,2x113027

∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3, ∴x≥-1,即定义域是[-1,+∞).