一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。

解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。

得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2不妨取A=1，则B=+a 或-a故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。

（2）()()2,0,,0cos(),,00tt xx t u a u t x u x x a u x ω⎧=>-∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩，其中a 和ω为常数。

解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得u (x,0) = f (x)+g (x) = cos(ωx/a) u t (x,0) = a f (x)-a g (x) = 0 联合求解得f (x)=g (x) = 0.5cos(ωx/a) 故u (x,t) =0.5cos[ω(x+at)/a]+ 0.5cos[ω(x-at)/a]= cos(ωx/a)cos (ωt) 本题也可以用行波法公式直接求解。

（3）()()()()2,0,00,,0,0sin(2),,00tt xx t u a u t x lu t u l t u x x a u x ω⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩， 其中 2a l πω=，a 和ω均为常数。

解：由边界条件得形式解为：11(,)cos sin sin cos sin sin 222n nn n nn n at n at n x u x t a b l l l n t n t n x a b a πππωωω∞=∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑将初始条件代入上式，得：11,42sin sin 20,0n nn n n n x xa a a ab ωω∞=⎧=⎧=⇒=⎨⎪⎨⎩⎪=⎩∑当其它时由上述结果得 2(,)sin cos 2x u x t taωω=四对给定的二维金属矩形谐振腔()a b ⨯，横电模式的电场强度(,)E x y 满足定解问题：其中ω 和c 为电磁波频率和光速。

用分离变量法求通解；ω 能连续取值吗？解：令 E = X(x)Y(y)，代入定解问题，有：2X Y X Y c ωλ''''⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭由0,(0)()0X X X X a λ''+===，知λ只在满足2m a πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭时有非零解：()sinm m m x X x A aπ=，其中m = 1，2，3…同理，由220,(0)()0m Y Y Y Y b c a ωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫''+-===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦仅当Y 的本征值满足：222m n c a b ωππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中n = 1，2，3…时，Y 有axy b20(0,)(,)0(,0)(,)0xx yy E E E c E y E a y E x E x b ω⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨==⎪⎪==⎩非零解 ()sinn n n y Y y B bπ=故故问题的通解为：()()sinsinm n m m x n y X x Y y C abππ=，m 和n 为整数因 222m n c a b ωππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知ω不能连续变化，一、填空题二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=分成三类，决定于24B AC-的取值：24B AC ->0对应的是（ 双曲 ）型，24B AC -=0对应的是（ 抛物）型，24B AC -<0对应的是（椭圆 ）型。

对于常见的三类泛定方程，热传导方程或扩散方程的表达式是（2t xx u a u =），属于（椭圆 ）型；弦振动方程的表达式是（2tt xx u a u =），属于（ 双曲 ）型；泊松方程的表达式是（0xx yy u u +=），属于（ 抛物）型。

二、单选题1．下列泛定方程中属于线性方程的是［ C ］ (A) 0t xx u u u ++=，其中u 表示u 的复共轭； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C)()()22220xx yyx yu x yu-++=； (D) 0t x xx u uu u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ B ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx t u a u t x u t u t u x x u x xππϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解是［ B ］(A) ()[]0,cos()sin()cos()nn n u x t anat b nat nx ∞==+∑(B) ()[]0,cos()sin()sin()nn n u x t anat b nat nx ∞==+∑(C) ()[]001,cos()sin()cos()n n n u x t a b t a nat b nat nx ∞==+++∑(D) ()[]001,cos()sin()sin()n n n u x t a b t a nat b nat nx ∞==+++∑三、用适当方法求解下列问题。

（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。

得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2不妨取A=1，则B=+a 或-a 故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。

（2）()()2,0,,00,,0cos()tt xx t u a u t x u x u x x ω⎧=>-∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得u (x,0) = f (x)+g (x) =0 u t (x,0) = a f’(x)-a g ’(x) = cosx 联合求解得f (x)= -0.5(sinx+c); g (x) =0.5(sinx-c)故u (x,t) =-0.5sin (x+at) + 0.5sin (x-at) = -cosxsin (at) 本题也可以用行波法公式直接求解。

（3）()()()()2,0,00,,0,00,,0cos()tt xx t u a u t x u t u t u x u x x ππω⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩解：由边界条件得形式解为：()1(,)cos sin sin nn n u x t anat b nat nx∞==+∑将初始条件代入上式，得：101sin 001sin cos cos sin n n n n nn a nx a nab nx x b x nxdxna πωω∞=∞=⎧=⇒=⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎩∑∑⎰（4）()()()()2cos ,0,00,,0,00,,00tt xx t u a u x t x u t u t u x u x ωππ⎧=+><<⎪==⎨⎪==⎩解：由边界条件，得形式解 1(,)()sin nn u x t Tt nx∞==∑，代入泛定方程，得2(0)(0)0n n nn n T a T bT T ⎧''''+=⎪⎨'==⎪⎩求上述常微分方程，可得最后解。