2 0
X2X0 X (x )A co x sB six n
X(0)A0 X(l)Bsinl0
nn/l,n1 ,2,3, nn 2n/l2
n
Xn(x)Bnsinl x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
n n /l2,n 1 ,2 ,3 ,
n
Xn(x)Bnsinl x
Ta2T0
Tnn2l22a2 Tn 0
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
0xl,t 0
t 0 0 x l
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
0 X0 XA xB X B0
2 0 X2X0 XA sin xB co xs
X(0)A0 X (l) B siln 0
2 lu(x,0) n
2l
n
Dnna0
t
sin l
xdxna0x(lx)sinl
xdx
n4 4l34a[1(1)n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题二第5题求下列定解问题（热传导方程）
u(ut0,t
a2 )
2u x2
,
0, u(l,
t)
0,
u(x,0) x(l x),
0 x l,t 0
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第2题： 求下列定解问题
2u t2
a2
2u x2
,
0 xl,t 0
u(0,t) 0,u(l,t) 0, t 0
u(x,0) t
x(l
x),
0 x l
u(x,0) 0
n a
n a n
un 1(C ncolst D nsilnt)silnx
C n2 l 0 lu(x,0)sinnl xdx0 u( x t,0 )n 1D nnlasin n l x0
T nC n co n ls atD n sin n lat
un XnTn B nsin ln x (C n cn o la ts D n sin ln a t) (C nco n la s t D nsin ln at)sin lnx
u
un
n 1
na
na n
n 1(C ncolstD nsin l t)silnx
0xl,t 0
t 0
uC0Cnea2nl222t n1
cons l
x
0 x l
u(x,0)xC0n 1Cnconlsx
1 l
C0 l
xdx
0
l 2
n0
Cn2l 0lxconslxdx2l nl 0lxdsinnlxn 2 xsin l nx|l0n 2 0 lsin l nxd x
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
u(x,0) 0,
t
u(x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0xc c xl
Ta2T0 XX0
u(0,t)X(0)T(t)0 u(l,t)X(l)T(t)0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
XX0, 0xl
X(0)0,
X(l)0
0 X0 X(x)AxB AB0 X(x)0
n1
n1
sin n l
x
u(x,0)n1Cnsinnlx
2l
n 2 l
n
Cnl
u(x,0)sin
0
l
xdx l
x(lx)sin
0
l
xdx
4l21(1)n
3 n3
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为
u(x,0)x,u(0,t)0,u(l,t)0
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
x
x
0xl,t 0
t 0 0 x l
u(x,t)X(x)T(t)
TXa2TX
T a2T
X X
u(0,t) X (0)T(t) 0 x
u(l,t) X (l)T(t) 0 xT 0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx u(xt,0)n 1D nnlasin nlx0 Dn 0
u(x,0)n 1Cnsinnlx
Cn2 l 0lu(x,0)sin nlxdx
2hl2 2c(l c)n2
n22l2
c
ons
l
x|l0
2l
n22
(1)n
1
0, 4l
n2 2
,
n为偶数 n为奇数
u2 ln 12 n 4 1 l2
n
n
l
nn2nl2,n1,2,3,
Xn
Bn
c
ons
l
x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
0xl,t 0 0 X B0
t 0
n
n2,n1,2,3,
l
0 x l
Xn
Bn
cons
l
x
Ta2T0
0
T0 0 T0 B0tA0 A0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t)X(x)T(t)
XTa2XT
X X
1 a2
T T
2u u(t02,
t)
a
2 2u , x2
0,u(l,t)
0,
t 0 0 x l
解：令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程：
TXa2TX
令
T a2T
X
X
XX 0 Ta2T 0
u(0,t)X(0)T(t)0 u(l,t)X(l)T(t)0
X(0)0,X(l)0
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
数学物理方程与特殊函数
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0