d dx
k
(x)
dy dx
q(x)
y
(x)
y
0
在第一类齐次边界条件及自然条件下
特征函数系
Pm (r)
J
n
(
(n m R
)
r)
m 1, 2,...
R 0
rJ
n
(
(n) m R
r
)J
n
(
(n) k R
r)dr
0 mk
R2 2
J
2 n1
(m(n)
)
R2 2
J
2 n1
(
(n m
)
)
mk
设
① ② ①-②
J0 ( x)
贝塞尔函数的图象
J1(x)
J 2 ( x)
J3 ( x)
贝塞尔方程在第一 类边界条件下的 特征值和特征函数
r2P(r) rP(r) (r2 n2 )P(r) 0
P(r) rR 0
P(r) r0
Jn ( R) 0
R
(n) m
(m 1, 2,...)
(n) m
(
(n) m
贝塞尔函数的性质（4）
二维热传导物理问题
u
t
a2
2u x2
2u y 2
u t0 (x, y)
,
x2 y2 R2
u 0 x2 y2 R2
u(x, y,t) V (x, y)T (t)
T (t) a2T (y 2
V
0
V 0 x2 y2 R2
贝塞尔函数的性质（1）
第一类贝赛尔函数：
在整个数轴上收敛，在每个指定的点都
取有限值 第二类贝赛尔函数：
1 n 0 Jn(0) 0 n 0
在x 0时为无限大
求定解问题讨论 边界条件时用到
贝塞尔函数的性质（2）:奇偶性
n为偶数时
Jn(x) Jn(x)
n为奇数时
Jn(x) Jn(x)
贝塞尔函数的性质（3）递推公式
x
J(n1) (x) 2
2
n1
x2
(1
d
)n (cos x)
x dx x
Jn1 (x) (1)n 2
2
n1
x2
(
1
d
)n (sin x)
x dx x
贝塞尔函数递推公式应用
证明
J2
(
x)
J
0
(
x)
1 x
J
0
(x)
d dx
[x
J0 ( x) J
1(x)]
x[
J
2 0
(
x)
J12 (x)]
求积分
x5J0 ( x)dx J2(x)dx x2J2 (x)dx J3(x)dx
T (t) a2T (t) 0
2V
x2
2V y 2
V
0
V 0 x2 y2 R2
2V
r
2
1 r
V r
1 r2
2V
2
V
0,
V rR 0
rR
V (r, ) P(r)( )
n2 ,
0 ( )
a0 2
,
n0
n ( ) an cos n bn sin n
n 1, 2...
Yn
(
x)
limn
J
n
(
J (x) cos J sin
x) cos n Jn (x) ,
(
x) n
,
n 整数 整数
sin n
在x 0时 为无限大
柱函数
勒让德方程的引入及解
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
l阶勒让德（legendre）方程．
y y0 y1
( ) ( ) 0
r2P(r) rP(r) (r2 )P(r) 0
P(r) rR 0
P(r
)
r0
r2P(r) rP(r) (r2 n2 )P(r) 0
P(r) rR 0
P(r) r0
• 斯特姆——刘维尔方程
d dr
r
dP dr
n2 r
P
rP
0
d [k(x) dy(x)] q(x) y(x) (x) y(x) 0, (a x b)
y C 1 Pl (x) C2Ql (x) l 整数
Pl (x) 1
无界
-1 x 1
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
(2l 2l k !(l
2k)! k)!(l
xl2k 2k )!
式中
[
l 2
]
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1, 2, )
球函数
x
2
xJ
n
(
x
)
nJn( x)
xJn1( x)
xJn ( x) nJn( x) xJn1( x)
2 Jn1( x) Jn1( x) x nJn ( x) Jn1( x) Jn1( x) 2Jn ( x)
半奇数阶的贝赛尔函数
2
J1 (x)
2
sin x
x
J1 (x) 2
2 cos x
n
(
(n) m R
r)
m 1, 2,...
m 1, 2,...
问题思考
• 贝塞尔方程在第二类边界条件下的特征值和特征函数?
应用贝塞尔函数求定解问题
u t
a2
2u r 2
1 r
u r
u t0 1 r2
,
u r1 0
0 r 1
u r1 0
对于 只有当 取 的零点时 问题才有非零解。 设 为 的第M个正零点
特征值 l(l 1)
特征函数 Pl (x)
2.勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn (x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当 n l
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)dx 0
称为正交性． 相等时可求出其模
分布；
• Jn (x)的零点与 Jn1(x) 的零点彼此相间分布，即 Jn (x) 的 任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 Jn1(x) 的零点；
•
以
m(n表) 示
Jn (x)
的正零点，则
(n) m 1
当 ( n )
m
m
时，无限
接近于 ，即 Jn (x) 几乎是以 2 为周期的周期函数
贝塞尔函数的性质（4）
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1, 2, )
在区间 [-1,1]上的具有一阶连续导数及分段
连续的二阶导数的函数 f (x) ，满足勒让德多项式满
足的边界条件，则在[-1,1]上可展开为勒让德多项式的
级数 其中系数
f (x) CnPn (x) n0
Cn
2n 1 2
1
1 f ( x)Pn ( x)dx
y0
a0 [1
l(l 1) 2!
x2
l(l
2)(l 1)(l 4!
3)
x4
...]
l 整数
y1
a1[ x
(l
1)(l 3!
2)
x3
(l
1)(l
3)(l 5!
2)(l
4)
x5
...]
-1 x 1 无界
勒让德方程的解
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
l阶勒让德（legendre）方程．
f
(r)
m 1
Am
J
n
(
(n m R
)
r)
由正交关系，可得：
Am
R2 2
1
J
2 n1
(
(n m
)
)
R 0
rf
(
r
)J
n
(
(n m R
)
r )dr
贝塞尔方程在第一 类边界条件下的 特征值和特征函数
Jn ( R) 0
R
(n) m
(m 1, 2,...)
(n) m
(
(n) m
R
)2
Pm (r)
J
存在非零解
此时
由方程边界条件经分离变量法可得通解为
利用正交 性求系数
由于
贝塞尔函数的其他类型
第三类贝塞尔函数----汉克尔函数
波的散射问题
虚宗量贝塞尔函数
jx
虚宗量（或 变形）的贝 塞尔方程
虚宗量贝塞尔函数没有实零点
n不为整数 n为整数
勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点
对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
xk Js (x)dx
k，s关系，递推 公式的使用？
整数阶贝塞尔函数的母函数
• 函数 W (x,t) 按t展开成幂级数，其系数为所有整数
阶的贝塞尔函数，W (x,t) 称为贝塞尔函数的母函数，
母函数是贝塞尔函数的另一种生成方式
W ( x, t) Jn ( x)t n n
x(t1)
W (x,t) e 2 t
设
n阶贝塞尔 函数的零点
设
分别对 求导
由递推关系
由递推关系
贝塞尔函数的性质（5）