实数一、实数的概念 知识讲解有理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数：无限不循环小数又叫无理数.补充：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数 典例讲解例1、指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,,10.1010010001 (7)3π-【答案】有理数有222,0,,73-,10.1010010001π……【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，1课堂巩固在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确；②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．2、把下列各数分别填入相应的集合内：，14，，π，52-，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案】有理数有：14， 52-，38-，49，0， 无理数有：32，7，π， 2，203，5-， 0.3737737773……3、判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】…有理数集合…无理数集合(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.二、实数与数轴知识讲解数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.比较实数的大小（1）对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.（2）正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 典例讲解例1画一条数轴表示0.53---，这些数，并比较大小【答案】课堂巩固1．下列说法中，正确的个数有（ ）（1）不带根号的数一定是有理数；（2）任意一个实数都可以用数轴上的点表示；（3）无限小数都是无理数；（4）3-是27的立方根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A（1）不带根号的数不一定是有理数，如圆周率π，则此说法错误；（2）实数与数轴上的点是一一对应的关系，即任意一个实数都可以用数轴上的点表示，则此说法正确；（3）无限不循环小数是无理数，则此说法错误；（4）3是27的立方根，则此说法错误 综上，说法正确的个数有1个2．如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）.A ．√10B ．√5C ．√3D ．√2【答案】B【详解】由图象可知，2＜p ＜3．∵√5≈2.236，∴数轴上点P 表示的数可能是√5．3和A B ．C + D ．-【答案】C 【详解】如图，和在右边，和-（）．故选：C ．4．如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动)，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′所对应的数值是__________．【答案】π【详解】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO ′之间的距离为圆的周长=π•d=1×π=π，由此即可确定O ′点对应的数π． 故答案为：π．例2比较2和0.5的大小．【答案】作商，得20.5=1>，即210.5>，所以0.52>．【点睛】根据若a ，b 均为正数，则由“1ab >，1a b =，1a b<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法. 课堂巩固 比较大小___ 3.14π--4__32 03___-|___(7)---【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.2、实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ，∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误；B 、∵a ＜b ，∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误；C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误；D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．311的大小．【答案】因为1145144<=-=，>=+=．1143144114.若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是．【答案】7．解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．三、与实数相关的概念及性质知识讲解典例讲解例1、已知2=-++=4(21)0a b【答案】解：∵2(21)0a b -+=，且2(21)0a b -+≥0≥．∴2(21)0,0a b --==，即210a b -+=，30b -=．解得 b ＝3，a＝54=得c ＝64．∴6===． 课堂巩固1.=，求xy 的值． 【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =．把3x =代入①得330y -=，y ＝1．∴ 331x y ==． 2、若2|2|(4)0a c --=，则a b c -+=________． 【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．3、已知2(16)|3|0x y +++=【解析】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴＝12=.四、实数的运算 知识讲解1.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.2.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 典例讲解(1) 1.4| (2)4|| (3)|12|解：（1）1.4| 1.4=（2）4||4（3）|12|121==.课堂巩固计算：（1）()()0320201π----．（2）()()22141a a a +--（3）01242)2⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭（41-+【答案】（1）5-（2）81+a ；（3）-4；（4）9-310【详解】解：（1）()()0320201π----=311-+=5- （2）()()22141a a a +--=2244144a a a a ++-+=81+a（3）原式＝2﹣3﹣2﹣1＝﹣4． （4）原式=19-30=-31010-++ 课后提升 一.选择题1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】B2. 下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数【答案】A3.估计76的大小应在（）A．7～8之间B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间D．9～10之间【答案】C4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.A．B．C．D．【答案】B5. 实数2.67、和22）A．2.6227<<<<B7 2.622C．2.6722<<<<D．22 2.67【答案】C6．一个正方体水晶砖，体积为1003cm，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【答案】A二.填空题7.在54，11-，•7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________． 【答案】11-，π2；8.在数轴上与1的点，表示的实数为______．【答案】19.｜3.14－π｜＝______；|= ______．【答案】π－3.14；10.5________，小数部分是________．【答案】2；3；【详解】253<，故整数部分为2，52为小数部分.11.已知x 为整数，且满足x ≤≤x =________．【答案】 －1, 0, 1；12.﹣的相反数是，﹣2的绝对值是________，的立方根是． 【答案】；2﹣；2．三.解答题 13．化简：|﹣|﹣|3﹣|． 【解析】解：|﹣|﹣|3﹣|=﹣（3﹣）=2﹣﹣3． 14. 天安门广场的面积大约是4400002m ，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）解：设广场的边长为x ，由题意得：2x =440000；x =＝≈663m .答：它的边长约为663m.15.2|313|0,x y --=求x y +的值．2|313|0,x y --=∴x －2＝0且2313x y --＝0解得x ＝2，y ＝－3，∴x y +＝2－3＝－1.。