= 0.0024mm
4
BC: N2 = −P
Δl2
=
N2l2 EA
=
− Pl2 EA
(实际缩短)
Δl AC = Δl1 + Δl2 = 0
∑ 因此 Δl = Nili Ei Ai
例：求B点的位
移 δB
解：N (x) = qx = W x
l
N max = W
σ max
=W A
A
q=W
ll
B
NW
EA
N (x)+ qdx
dx x
N (x)
微段dx 的伸长Δdx = N (x)dx
EA
∫ ∫ ∫ Δl =
l
Δdx =
l N (x)dx =
l Wx dx =
Wl
0
0 EA
0 lEA
2EA
δ B = Δl(↓)
§12.2 材料的力学性能
由轴向拉压试件测得： P
P
P
l
Δl
由 σ = N = P ε = Δl
P
σ 45o
=σ
2
τ 45o
=τα max
=σ
2
σα
α
qα
τα
α
qα
三、圣维南原理
现考虑端面外 P
P
力不同作用方
式的影响问题
，如图
P
P
“不同分布的加载方式，只要静力等 效，则在载荷作用区域略远处，作 用效果相同”称为圣维南原理。
例：内有一小孔 的板，板小孔内 作用有均匀压力
四、拉压杆的变形
求：许可载荷[P]
C
解：⑴内力
∑ Fx = 0 N 2 + N1 cos 45o = 0
(1)
45o
B
(2)
P
∑ Fy = 0 N1 sin 45o − P = 0
N1 = 2P(拉) N2 = −P(压)
⑵求 [P]
AB杆：
N1 A1
极限应力与安全系数的比称为许用应
力 [σ ]=Δ σ u
u
塑性材料 [σ] = σs ns
脆性材料 [σ ] = σ b nb
强度条件工作应力不超过材料的 许用应力 σ = N ≤ [σ ]
A
例：已知 A1 = 100mm2
A
A2 = 50mm2 [σ ]T = 100MPa
[σ ]c = 200MPa
b
2ε
−b2
y dy
=
−ν
σ
E
b
=
ε
yb
或
εy
=
Δb b
例 P = 4KN d = 10mm
E = 210GPa
P
2P
P
l1 = l2 = 100mm
求 ΔlAC
解：轴力图
A
l1
B l2
C
d
P
N
AB: N1 = P
P
Δl1
=
N1l1 EA
=
Pl1 (伸长) = EA
4×103 ×102
210×103 × π ×102
3、强化阶段ce’
材料恢复抵抗变形的能力称为强化 强度极限 σ b
4、局部变形阶段ef 变形集中于某一局部范围颈缩断裂
(二)主要力学性能指标 1、强度指标: σ s 应力达到σ s 材料出现显著变形 σ b 应力达到 σ b 材料出现断裂
2、σ ≤ σ P σ = Eε E = tgα
3、塑性指标,拉断 l → l1塑性变 形为 Δl1 = l1 − l
伸长率
δ
=
Δl1 l
×100%
= ε1 ×100%
δ ≥ 5% 为塑性材料如低碳钢、铝、
铜
δ < 5% 为脆性材料如铸铁、高碳
钢、岩石、玻璃
截面收缩率 ϕ = A − A1 100%
A
(三)卸载现象及冷作硬化
当 σ > σ P后卸载 ε = ε e + ε P
ε P ——塑性应变
Δσ Δε
=E
= tgα 卸载后再加载 σ ′P
1、纵向变形
b
P
εx
=
σ
E
σ=N
A
l
Δx 的伸长量为 ε xΔx
拉压杆总的伸长量Δ（l 纵向）
y
P
x
∫ Δl =
l 0
ε
x dx
=
ε
xl
或
εx
=
Δl l
因此 Δl = Nl
EA
EA ——抗拉压刚度
2、横向变形
εy
=
−ν
σ
E
Δy 的“伸长量”为 ε y Δy
拉压杆横向的“伸长量”
∫ Δb =
AA
l
σ − ε曲线 σ
ε
低碳钢拉伸实验
理想塑性曲线
一、低碳钢拉伸时的力学性能
（一）四个阶段
σ
e
d
σs
c
σe
1、弹性阶段ab σ p
b c′
a
f
σb
oa段比例极限 σ P
ab段弹性极限 σ e
α
α
O
d′
ε1 α
g
f′
ε
2、屈服阶段cc’
cc’应力不断增加变形不断增加称为屈服 ，该段的最低应力称为屈服应力σ s ，在 材料屈服后若卸载出现不能恢复的变形 称为塑性变形。
σ σs
εs
2、线性强化材料
σ σs E
εs
ε
E′ ε
3、刚塑性材料
σ σ
σs
σs
ε
ε
4、强化材料，加载 σ = cε n
σ
ε
§12.3 许用应力及拉压杆的强度计算 当构件已不能正常使用时，如断裂或 变形过大称为失效
失效时对应的应力称为极限应力 σ u
塑性材料 σ u = σ s
脆性材料 σ u = σ b
在拉压杆的表面上
刻划纵线和与之垂 P
直的横线形成均匀
的小方格
P
P
σ
N
拉伸内力与应力
拉压杆横截面上只有正应力，且均匀 分布（各处变形相同）各单元体处于 单向应力状态（根据边侧单元）
设杆的横截面为A 则 σA = N 或 σ = N A
x
q
对于横截面直杆
P
σ
(x)
=
N(x) A(x)
(当杆的截面变化不是很剧烈时)
σ
σb
α
ε
低碳钢压缩实验
四、材料压缩时的力学性能
1、低碳钢(塑性材料类似)
可用拉伸曲线代替压缩曲线
σ
压
P
拉
ε
铸铁压缩实验
2、铸铁(脆性材料类似) σ bc 远大于σ bT（约3-4倍）
断口与轴线成45度试件沿τmax 面错动剪
断
σ
P
σ bc
45o
σ bT
ε
五、简化的应力——应变曲线
1、理想弹塑性材料
二、拉压杆斜截面上的应力
对于斜截面上的应力
m
P
α
σα
=
σ
2
+
σ
2
cos2α
=σ
cos2 α
τα
=
σ
2
sin2α
=σ
sinα cosα
qα =
σα2
+ τ α2
= σ cosα
=
N cosα
A
=
α
N A
cosα
n
α
P
m
n
α
σ
当 α = 0 （横截面）
P
σα =σαmax =σ
τα = 0
当 α = 45o
= σα
>σP
原点移至d’点 ε1′ < ε1
塑性指标下降称为冷作硬化。
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
σ s = σ 0.2
σ
称为名义屈服应力
σ 6.2
ε
0.2%
其他拉伸曲线
铸 铁 拉 伸实 验
三、铸铁拉伸时的力学性能
由于σ − ε 曲线曲率很小，工程上
以割线代替曲线 E = tgα σ = E §12.3 §12.4 §12.5 §12.6
拉压杆的应力和变形 材料的力学性能 许用应力及拉压杆的强度计算 应力集中的概念 桁架的位移 连接杆件的工程实用计算
§12.1 拉压杆的应力和变形 一、拉压杆横截面上的应力 *静不定问题*