1 无界弦振动的研究 马玉荣

摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。 关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法

一、引言

物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦[1]的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。 通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多[2-6]。比如在运用特征线方法的基础上利用线积分予以求解[3]；有学者用分离变量法求解[4]，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5]、行波法[6]等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。

二、无界弦的振动问题 无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I)和(II)它们都由泛定方程[1]和初始条件[1]构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I)中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II)中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中ttu是弦的横向加速度；xxu是u关于x的二阶导，质点间的牵连体现在xxu上；a是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t时刻 2

作用于x处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，)0,(xut是初始速度，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，由具体题目给定。

(I) )3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt (II) )3()()0,()2()()0,()1(),(2xxuxxutxfuautxxtt

1、无界弦的自由振动问题 这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动

在弦中传播的情况。其定解问题为(I)。 （1）行波法[6] 错误！未找到引用源。式，从而求其通解。②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。

)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt 泛定方程(1)的通解是 )4()()(),(21atxfatxftxu 其中1f和2f是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定。将(4)式代入(2)式和(3)，有：

)()()()0,()()()()0,('2'121xxafxafxuxxfxfxut

即 cdaxfxfx021)(1)()( 则xcdaxxf012)(21)(21)( xcdaxxf022)(21)(21)( 则atxcdaatxatxf012)(21)(21)( atxcdaatxatxf022)(21)(21)( 所以，由(4)式得： atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),( （5）

由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题，有其特殊优点。 3 -10-8-6-4-20246810-0.5

-0.4-0.3-0.2-0.100.1 -10-8-6-4-20246810-0.100.10.20.30.40.5u

例：现取初始位移)(0)7473(7sin)(其余lxlxlx，初始速度0)(x，由达朗贝尔公式得)](7sin)(7[sin21),(atxlatxltxu，用matlab作出图像如图1：

图1 初位移不为0初速度为0的达朗贝尔公式的图形 现取初始位移0)(x，初速度为)(0)10(1)(其余xx，用matlab作图如下：

图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形 我们把图2分解为图3和图4，图3为开始时)(atx的波形，图4为开始时)(atx的波形。

图3 图4

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 4 （2）、傅里叶变换法[1][6] Fourier变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步： ①对方程和定解条件中的各项取变换，得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。

②求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 ③求像函数的逆，即得到原定解问题的解。

)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt 上面定解问题，视t为参数，对式(1)(2)(3)进行傅里叶变换，并记 )(~)]([)(~)]([),(~)],([xFxFtxutxuF 原方程组变为：







)6()(~)0,(~)5()(~)0,(~)4(0~~2txxttuuuau

(4)式的通解为tiatiaeBeAtu)()(),(~ (7) 将(6)、(7)代入(8)式，有)(~)()()(~)()(aBiaAiBA 解之，得 )(~121)(~21)(iaA )(~121)(~21)(iaB

所以，tiatiaeiaeiatu)](~121)(~21[)](~121)(~21[),(~ 而)],(~[),(1tuFtxu， 用延迟定理和积分定理求原函数，得 atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),( (8)

同行波法相比较，用傅里叶变换法的思路很清晰，对于求解无界弦的自由振动问题比较简便。

（3）、拉普拉斯变换法[1] 如同Fourier变换法一样，Laplace变换法也可以用来求常微分方程、积分方程和偏微分方程的各类定解问题，特别适用于求解常微分方程的初值问题。而且，无论方程是何种类型（齐次还是非齐次，常微分方程还是偏微分方程），其求解步骤是一样的。 5







)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuau

txxtt



对上面定解问题，对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件运用二阶导数定理也一并进行变换的结果是022xxuapup (4) 这个非齐次常微分方程的通解是： )(//)(////)]()([21)]()([21),(xapapxxapapxapxapxdppeeadppeeaBeAepxu



考虑到uxlim不应为无限大，积分常数A定为0； 考虑到uxlim 也不应为无限大，积分常数B也定为0。 为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限取为-∞。这样，



xaxpxaxpdppeadppeatxu)]()([21)]()([21),(/)(/)(

])()()()([21/)(/)(/)(/)(dppedppedpedpeaxxxxaxpaxpaxpaxp

第二个[]跟第一个[]相比较，)(代替了)(并且多了一个因子p。因此，先对第一个[]进行反演，得到原函数之后，将换成，并对t求导就得到第二个[]的原函数。

运用延迟定理于p1≒)(tH

peaxp/)(≒)(0)(1)(atxatxaxtH

于是，dpeaxaxp)(21/)(≒atxxda)(21 同理，dpeaxaxp)(21/)(≒xatxda)(21 这样，完成反演 atxatxatxatxdatdatxu])(21[)(21),(

atxatxatxatxda)]()([21)(21 (5) 通过比较发现，Laplace变换法求解无界弦振动问题时，解方程和反演变换积分很多，计算量很大，所以求解这类问题，拉普拉斯变换法不常用。