高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0可分解出因式P x-Q ,即方程a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0=0有有理数根PQ（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项 a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

例1 解方程x 4+2x 3-4x 2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数±1、±2、±3、±6第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。

根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除±1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用长除法将原方程降次。

（x 4+2x 3-4x 2-5x-6）÷(x-2) (x+3)= x 2+x+1第四步：解一元二次方程x 2+x+1=0 x=a ac b b 242-±-=2312114112i ±-=⨯⨯-±- ∴x 1=,231i +- x 2=,231i -- x 3=2 x 4= -3 第二种类型，首项系数不为1 。

对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。

特别注意此时代入方程验算的值一定是PQ 而不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx －Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。

例２ 解方程３x 3-２x 2＋９x -6＝０解：将原方程化为 ３（x 3-32x 2＋３x -２）＝０ 此时，“常数项”为-2，它的约数为 ±1，2± ，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或PQ = -32 f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3 X -2）。

（3x 3-２x 2＋９x -6）÷(3x -2)= x 2+3解方程式x 2+3=0 x=23i ±， x 1=23i ，x 2=-23i ∴原方程的解为x 1=23i ，x 2= 23i -，x 3=32 三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。

如a x 4+bx 3+cx 2+dx+e=0,其中，,e a =d b =或者a= -e,b= -d2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果a 是方程的根，则a1也是方程的根；（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。

3、倒数方程求解方法：如果a x 4+bx 3+cx 2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x ≠0,所以，方程两边同除以x 2得：a(x 2+21x )+b(x+x 1)+e=0,令x+x 1=y, x 2+21x =y 2-2,即原方程变为： ay 2+by+(e-2a)=0, 解得y 值，再由x+x 1=y ，解得x 的值。

例1 解方程2 x 4+3x 3-16x 2+3x+2=0解： x 2 ≠ 0 ∴ 方程两边同除以 x 2 得：2x 2+3x-16+x 3+22x =0,即2（x 2+21x）+3（x+x 1）-16=0, 2[（x+x1）2-2]+3（x+x 1）-16=0, 令x+x 1=y, 代入方程整理得：2y 2+3y-20=0, 解之得：y 1= -4, y 2=25 即x+x 1= -4, x 2+1= -4x, x 2+4x+1=0, x=a ac b b 242-±-=2114442⨯⨯-±-=2124±-=2324±-=-2±3, x 1= -2+3, x 2= -2 -3又 x+x 1=25 2x 2+2=5x, 2x 2-5x+2=0(2x-1)(x-2)=0 ∴x 3=21, x 4=2 经检验知x 1= -2+3, x 2= -2-3，x 3=21, x 4=2都是原方程的根。

例2 解方程6x 5 - 4 x 4 -3x 3+3x 2 -4x -6=0解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：6x 4+10x 3+7x 2+10x+6=0， 方程两边同除以x 2并整理得：6⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x +10071=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x , 令y=x x +1得051062=-+y y ,65551+-=y =2y 6555-- 方程x+65551+-=x 无实数解：65551--=+x x 得：x ()126455105553,2-±+-= 经检验知：12645510555,121⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+-==x x 是原方程的实数根。

点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般表达式表述为ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=0,其中a=e,b=d,或者a= -e,b= -d 对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以x 2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。

但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如ax 4+bx 3+cx 2+k 02=•+•a k bx (a 0≠)即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a ”和另一个因数“k 2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b 和与常数项2k 相同的数字k 的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。

例3：x 4+5x 3+2x 2+20x+16=0解：a k e •=⨯==221416 ， d=20=4b k •=⨯5属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。

原方程两边同除以x 2 得： x 2+5x+2+016202=+x x ， 02451622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y=x+x 4,则81622-=+y x x 即：y 2+5y-6=0 y= -6或1,当y= -6时，x+53,64±-=-=x x当 y=1时，x+14=x (无实数根) ∴531+-=x , 532--=x四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是标准式，如：ax 4+bx 2+c=0 ,此时设y=x 2 原方程化为含y 的一元二次方程ay 2+by+c=0，求出y 值在代入x 2之值，从而求出x 之值。

第二种形式双二次方程的推广形式。

如：（ax 2+bx+c ）2+m(ax 2+bx+c)+d=0 ,此时设y=(ax 2+bx+c),也可转化为含y 的一元二次方程y 2+my+d=0,解出y 值代入ax 2+bx+c=y从而求出原方程的根x 之值。

第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a ）(x+c); (x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax 2+bx+c ）或成比例的多项式m(ax 2+bx+c),然后设y=ax 2+bx+c,将原方程转化为含y 的一元二次方程y 2+my+e=0,求出y 值，将y 值代入ax 2+bx+c=y 求x 之值。

第四种形式是（x-a ）4+(x-b) 4=c 的形式，此时，将“-a ”换成“+b ”或将“-b ”换成“+a ”，利用y=x+()()2b a -+-,消去x 的三次项和一次项，变成双二次方程42⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a y +42⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a y 的形式求解。

例1 解方程x 4+3x 2-10=0解：本例属于双二次方程标准式ax 4+bx 2+c=0的形式，直接设y=x 2,则原方程化为：y 2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5或者y=2 52-=∴x (舍去)，x 2=2,x 1=2，22-=x例2 解方程（x 2-3x+2）2=9x-3x 2-2解：本例属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第二种类型（ax 2+bx+c ）2+m(ax 2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x 2-3x+2)2+3(x 2-3x+2)-4=0设y=x 2-3x+2,则原方程转化为y 2 +3y -4=0 4-=y ，或者 y=1 x 2-3x+2=-4 ,x 2-3x+6=0 0<∆ 无实数根, x 2-3x+2=1,x 2-3x+1=0 x=253± ∴原方程的根x 1=,253+ x 2=253- 例3 解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x 2解：本例题属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第三种类型（x+a ）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y 换元的相同多项式”。