特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐. 教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x ； (3) 03422=-+x x ； (4)23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ； (7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9) 010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？ （2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？ 二、学习新课 1．概念辨析 （1） 一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. （3）一般形式：关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 注 ①nax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0. ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结） 结论：对于二项方程 是正整数）n b a b axn,0,0(0≠≠=+当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力. 教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法） 2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x ，（2）01224=-+x x如何求解上述方程？ 3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x ，01224=-+x x 具有共同的特点？ （1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x 这类方程有什么共同的特点？ 二、学习新课 1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax （3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。
换元法是一种重要的数学方法，它不仅可以用在解方程中，在其他许多领域都有着广泛的应用。
换元法解一元高次方程的一般步骤：(1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式(2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值 (3) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值，即原方程的解2．例题分析例4：解下列方程：（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x 例5：解方程 020924=++x x分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把2x 看作一个整体直接求解. 3．问题拓展不解方程，判断下列方程的根的个数：①06524=+-x x ； ②013224=--x x ； ③04224=+-x x ； ④036224=++x x . 分析：令2x y =①△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2>0 ∴原方程有四个实数根. ②△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2<0 ∴原方程没有实数根. ③△>0,y 1y 2<0, ∴原方程有两个实数根. ④△<0 ∴原方程没有实数根. ★★★★： （1）（x 2+2x ）2-7(x 2+2x)+12=0; （2）（x 2+x ）2+（x 2＋x ）=2; （3）（6x 2-7x ）2-2（6x 2-7x ）=3;（4）(x 2+x)2-5x 2-5x=6. ★★★★★：（1）(2x 2-3x+1)2+4x 2-1=6x ; （2）12x 4-56x 3+89x 2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x 4的系数与常数项相同，x 3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代.2．如何判断双二次方程的根的个数？五、作业布置解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3）x4-（a2+b2）x2＋a2b2=0;（4）（x2+8x＋12）2＋6（x2＋8x＋12）＋9=0.特殊的高次方程的解法3教学目标知识与技能：根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.过程与方法：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；②x4-4；③x3-2x2-15x；④x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x 2-4x+3；② x 4-4；③x 3-2x 2-15x ；④ x 4-6x 2+5；⑤（x 2-x ）2-4（x 2-x ）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？ （2）这些高次方程如何求解？二、学习新课因式分解法因式分解法是解一元高次方程首选的方法。
这种解法的理论根据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即： 。
因式分解法解一元高次方程的一般步骤：(1) 将方程右边化为零(2) 将方程左边分解为几个一次因式乘积(3) 令每个因式分别为零，得到几个一元一次方程或一元二次方程 (4) 解这几个一元一次方程或一元二次方程，它们的解就是原方程的解1．例题分析例6 解下列方程 （1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0. [说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2. 2．问题拓展（1）解方程 x 3-2x 2-4x ＋8=0． 解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x 2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x 1＝x 2＝2，x 3=-2． （2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dcb a ，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为 bkx 3+bx 2+dkx+d 即 (kx+1)(bx 2+d)=0． 三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________. 2．解下列方程：（1）3x 3-2x=0 ; （2）y 3-6y 2+5y=0. 3．解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0; （2）x 3-2x 2+x-2=0 4．拓展： （1）（x 2-x-6）（x 2-x ＋2）=0， （2）（x-3）（x ＋2）（x 2-x ＋2）=0. 分析：在具体操作过程中，把x 2-x 当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.分层作业：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67高次方程及解法4一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、 ±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。