高次方程及解法
✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟
一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双
1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0
时，有x4=-4
点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶
次项”系数计算。

二、常数项约数求根法
根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,
Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根
P
Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”
很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方
程求解。

432 6
2+x+1
x －
解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，
或P Q =-3
2
f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。

（3x 3-２x 2＋９x-6）÷(3x-2)=x 2+3
解方程式x 2+3=0x=23i ±， x 1=23i ，x 2=-2
3i ∴
原方程的解为x 1=23i ，x 2=23i -，x 3=32 三、倒数方程求根法
1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。

如
ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=0,其中，,e a =d b =或者a=-e,b=-d
2、性质：倒数方程有三条重要性质：
（1）倒数方程没有零根；
（3）+3（x+x 12324±-=-2±3, x 1=-2+3,x 2=-2-3 又 x+x 1
=252x 2+2=5x,2x 2-5x+2=0(2x-1)(x-2)=0∴x 3=2
1
,x 4=2 经检验知x 1=-2+3,x 2=-2-3，x 3=21
,x 4=2都是原方程的根。

例2解方程6x 5-4x 4-3x 3+3x 2-4x-6=0
解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，
有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：
6x 4+10x 3+7x 2+10x+6=0， 方程两边同除以x 2并整理得：6⎪⎭⎫ ⎝⎛+
221x x +10071=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x ,令y=x x +1得051062=-+y y ,65551+-=y =2y 6555--方程x+65551+-=x 无实数解：65551--=+x x 得：x ()
12
6455105553,2-±+-=
对首2,化成即常数即：y 2+5y-6=0y=-6或1,当y=-6时，x+53,64±-=-=x x
当y=1时，x+14=x (无实数根)∴531+-=x ,532--=x 四、双二次方程及推广形式求根法
双二次方程有四种形式：
第一种是标准式，如：ax 4+bx 2+c=0,此时设y=x 2原方程化为含y 的一元二次
方程ay 2+by+c=0，求出y 值在代入x 2之值，从而求出x 之值。

第二种形式双二次方程的推广形式。

如：（ax 2+bx+c ）2+m(ax 2+bx+c)+d=0,此时设y=(ax 2+bx+c),也可转化
为含y 的一元二次方程y 2+my+d=0,解出y 值代入ax 2+bx+c=y
从而求出原方程的根x 之值。

第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a ）(x+c);(x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax 2+bx+c ）或成比例的多项式m(ax 2+bx+c),然后设y=ax 2+bx+c,将原方程转化为含y 的一元二
”换成“程化为：y ，
（ax 2y=1x 2例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x 2
解：本例题属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第三种类型（x+a ）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y 换元的相同多项式”。

根据这个要求，只有将（x+2）(x+12)和(x+3)(x+8)组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“x 2+24”,即
()24142++x x ()
2242411x x x =++，设242+=x y 则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x 2,y 2+25xy+150x 2=0,(y+10x)(y+15x)=0y+10x=0或
y+15x=0,y+10x+24=0或
y+15x+24=0,x 2+10x+24=0,x 1=-4x 2=-6;x 2+15x+24=0,2
12915±-=
x ,2129153+-=x 2129154--=x 例4解方程(x-6)4+(x-8)4=16
解：本题属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第四种类型（x-a ）
4+(x-b)4=c 的形式。

86-+-x x 4444为:()14+y 2+1-4y 3(x+a)4)]2
2b -，。