3、三角形及其有关概念
【知识精读】
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5
4. S S ABE ∆⋅ 基础。

5.
例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B
分析：
因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B
∴︒<<︒045∠B
又∵∠A 为锐角，()
∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90
∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100°
AF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴== 又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABE ∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF
又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF
又∵AB AC AC AF ≤∴>1
2
， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =1
2
∴<∠∠C B 1
2
∴
++<<++64
()()a b c c a b c 故最小边在周长的16与1
4
之间。

中考点拨：
∴++++=++=︒∠∠∠∠∠∠∠∠A B C E D A A G F
AFG 180
所以选择C
例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x 的范围是（ ） A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定 分析：根据三角形三边关系应有7575+>>-x ，即122>>x 所以应选C
在∆AEP 中，
∠∠，∠∠，∠APE AEP AE AP AFE ACB AEF >∴>==︒=︒
6060
∴∆AEF 是等边三角形 ∴=AF EF
()()() AE AP BE EP BP PF FC PC AE EB EP PE FC AP BP PC
AB EF FC AP BP PC AB AF AC AP BP PC
PB PA PC AB AC >+>+>⎧⎨⎪
⎩
⎪++++>++++>++++>++∴++<+=2
()∴+>+>+>⎧⎨⎪
⎩
⎪∴++>++=∴>++>
PA PB AB PB PC BC PC PA AC PA PB PC AB BC AC PA PB PC 23232
例1. （1 （2） ∴∠ ∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点
AB AF BE EF
EF FC EC
AB AF EF FC BE EF EC
+>++>∴+++>++又
即AB AC BE EC +>+
例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

BF
∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°
又∵∠C ＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证
证明：∵∠EAB ＝∠ABC ＋∠C ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C
∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°，∠C ＝90°
∴+=+++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=
+=⨯︒=︒∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 121
2
270135 在∆ABF 中，()
∠∠∠AFB FAB FBA =︒-+=︒18045
【实战模拟】
1. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围。

2. 已知：∆ABC
∠=CAD β，求α 3. 如图，∆ABC （ ） A. 68°
4. 已知：如图， 求证：∠EAD
【试题答案】
1.
分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。

解：∵三边长分别为3，8，12+x ，由三边关系定理得： 51211<+<x
∴<<∴<<421025
x x
2.
解： AB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α 又 AD BC AD AB =∴=，
∴∠=∠D B ，又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形内角和，得： 2180ααβ+-=︒ ∴-=︒3180αβ
3.
解： ∠=︒BPC 134 ∴∠+∠=︒PBC PCB 46
又∵BP 、CP 为∠B 、∠C 的平分线
()∴=
=∴+=+∴+=⨯︒=︒
∴=︒--=︒
∠∠，∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC ABC PCB ACB PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121
2
1
2
2469218088 4.
证明：∠∠∠EAD EAC CAD =- ∵AE 平分∠BAC ，∴=
∠∠EAC BAC 1
2
又∵AD ⊥BC ，∴=︒∠ADC 90 ∴=︒-∠∠CAD C 90
又 ∠∠∠BAC B C =︒--180
()()∴=
-=︒---︒-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 1
21
2180901212
5.
()=
=++∠∠∠ABC BAC ACB 1
2
则()
∠∠∠ADB DAB DBA =︒-+180
()()()=++-
+-=+∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 1
2
1
2
又() 121
2
∠∠∠ACG ABC BAC =+
∴=∠∠ADB ACG 1
2。