八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础,有以下5个公式:mnm na a a+⋅=, ()m n mna a=,()n n nab a b =,(0)m n m n a a a a -÷=≠,01(0)a a =≠,1(0)p pa a a -=≠. 学习指数运算律应注意: 1.运算律成立的条件;2.运算律中字母的意义:既可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者多项式; 3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是: 1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位; 2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐; 3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.例题与求解【例1】(1)若n 为不等式2003006n>的解,则n 的最小正整数的值为 .(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)(2)已知21x x +=,那么432222005x x x x +--+= . (“华杯赛”试题)(3)把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ,则121086420a a a a a a a ++++++= . (“祖冲之杯”邀请赛试题)(4)若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= . (创新杯训练试题)解题思路:对于(1),从幂的乘方逆用入手;对于(2),目前无法求x 值,可考虑高次多项式用低次多项式表示;对于(3),它是一个恒等式,即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值法;对于(4),可考虑比较系数法.【例2】已知252000x =,802000y=,则11x y+等于( ) A .2 B .1 C .12 D .32(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:,x y 为指数,我们无法求出,x y 的值,而11x y x y xy++=,所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系,于是自然想到指数运算律.【例3】设,,,a b c d 都是正整数,并且5432,,19a b c d c a ==-=,求d b -的值.(江苏省竞赛试题)解题思路:设5420326,a b m c d n ====,这样,a b 可用m 的式子表示,,c d 可用n 的式子表示,通过减少字母个数降低问题的难度.【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+,求3211m n +-的值.解题思路:等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法.【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除?如果存在,求出,p q 的值,否则请说明理由.解题思路:由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),根据“被除式=除式×商式”,运用待定系数法求出,p q 的值,所谓,p q 是否存在,其实就是关于待定系数的方程组是否有解.【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除,求ab的值. (北京市竞赛试题) 解题思路:本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时,原多项式的值均为0,从而求出,a b 的值.当然本题也有其他解法.能力训练A 级1.(1)24234(0.25)1⨯--= . (福州市中考试题) (2)若23n a=,则621n a -= . (广东省竞赛试题)2.若2530x y +-=,则432xyg. 3.满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 . (武汉市选拔赛试题)4.,,,a b c d 都是正数,且23452,3,4,5a b c d ====,则,,,a b c d 中,最大的一个是 .(“英才杯”竞赛试题)5.探索规律:133=,个位数是3;239=,个位数是9;3327=,个位数是7;4381=,个位数是1;53243=,个位数是3;63729=,个位数是9;…那么73的个位数字是 ,303的个位数字是 . (长沙市中考试题) 6.已知31416181,27,9a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( )A .a b c >>B .a c b >>C .a b c <<D .b c a >>7.已知554433222,3,5,6a b c d ====,那么,,,a b c d 从小到大的顺序是( )A .a b c d <<<B .a b d c <<<C .b a c d <<<D .a d b c <<<(北京市“迎春杯”竞赛试题)8.若11222,22n n n n x y +--=+=+,其中n 为整数,则x 与y 的数量关系为( )A .4x y =B .4y x =C .12x y =D .12y x =(江苏省竞赛试题)9.已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是( )A .2b a c <+B .2b a c =+C .2b a c >+D .a b c +>(河北省竞赛试题)10.化简4322(2)2(2)n n n ++-得( ) A .1128n +- B .12n +-C .78D .7411.已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=,试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值.12.已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++.试确定,,a b c 的值.13.已知323x kx ++除以3x +,其余数较被1x +除所得的余数少2,求k 的值.(香港中学竞赛试题)B 级1.已知23,45,87,abc===则28a c b+-= .2.(1)计算:1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= . (第16届“希望杯”邀请竞赛试题) (2)如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++,那么n = . (青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题)3.(1)1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”“<”“=”).(2)200020013131++与200120023131++的大小关系是:200020013131++ 200120023131++(填“>”“<”“=”).4.如果210,x x +-=则3223x x ++= . (“希望杯”邀请赛试题)5.已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++,则164b d f ++= .(“五羊杯”竞赛试题)6.已知,,a b c 均为不等于1的正数,且236,ab c -==则abc 的值为( )A .3B .2C .1D .12(“CASIO 杯”武汉市竞赛试题)7.若3210x x x +++=,则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是( )A .1B .0C .—1D .28.如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +,则a b +=( )A .7B .8C .15D .21(奥赛培训试题)9.已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数,又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ,121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ,则M 与N 的大小关系是( )A .M N =B .M N <C .M N >D .关系不确定10.满足22(1)1n n n +--=的整数n 有( )个A .1B .2C .3D .411.设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值.12.若,,,x y z w 为整数,且x y z w >>>,52222208xyzw+++=,求2010(1)x y z w +++-的值. (美国犹他州竞赛试题)13.已知,,a b c 为有理数,且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除. (1)求4a c +的值; (2)求22a b c --的值;(3)若,,a b c 为整数,且1c a >≥.试比较,,a b c 的大小.(四川省竞赛试题)专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用,学习乘法公式应注意:1.熟悉每个公式的结构特征;2.正用 即根据待求式的结构特征,模仿公式进行直接的简单的套用; 3.逆用 即将公式反过来逆向使用; 4.变用 即能将公式变换形式使用;5.活用 即根据待求式的结构特征,探索规律,创造条件连续综合运用公式.例题与求解【例1】 1,2,3,…,98共98个自然数中,能够表示成两个整数的平方差的个数是 .(全国初中数字联赛试题)解题思路:因22()()a b a b a b -=+-,而a b +a b -的奇偶性相同,故能表示成两个整数的平方差的数,要么为奇数,要么能被4整除.【例2】(1)已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-,则,x y 的大小关系是( )14.x y ≤B .x y ≥C .x y <D .x y >(山西省太原市竞赛试题)(2)已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-,则a b c ++的值等于( ) A .2B .3C .4D .5(河北省竞赛试题)解题思路:对于(1),作差比较,x y 的大小,解题的关键是逆用完全平方公式,揭示式子的非负性;对于(2),由条件等式联想到完全平方式,解题的切入点是整体考虑.【例3】计算下列各题:(1) 2486(71)(71)(71)(71)1+++++;(天津市竞赛试题) (2)221.23450.76552.4690.7655++⨯;(“希望杯”邀请赛试题)(3)22222222(13599)(246100)++++-++++L L .解题思路:若按部就班运算,显然较繁,能否用乘法公式简化计算过程,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征.【例4】设221,2a b a b +=+=,求77a b +的值. (西安市竞赛试题)解题思路:由常用公式不能直接求出77a b +的结构,必须把77a b +表示相关多项式的运算形式,而这些多项式的值由常用公式易求出其结果.【例5】观察:222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果(用一个最简式子表示).(黄冈市竞赛试题)解题思路:从特殊情况入手,观察找规律.【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求:(1)abc 的值; (2)444a b c ++的值.(江苏省竞赛试题)解题思路:本题可运用公式解答,要牢记乘法公式,并灵活运用.能力训练A 级1.已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方,则m = . (广东省中考试题) 2.数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 .3.已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= .(天津市竞赛试题)4.若3310,100,x y x y +=+=则22x y += .5.已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 .(河北省竞赛试题)6.若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 . 7.22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于( ) A .19992000 B .20012000 C .19994000D .200140008.若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++,则M N -的值是( )A .正数B .负数C .非负数D .可正可负9.若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是( )A .4B .19922C .21992D .41992(“希望杯”邀请赛试题)10.某校举行春季运动会时,由若干名同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列;如果原队列中减少120人,也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学? (“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题)11.设9310382a =+-,证明:a 是37的倍数. (“希望杯”邀请赛试题)12.观察下面各式的规律:222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子,并证明你的结论.B 级1.()na b +展开式中的系数,当n =1,2,3…时可以写成“杨辉三角”的形式(如下图),借助“杨辉三角”求出901.1的值为 . (《学习报》公开赛试题)2.如图,立方体的每一个面上都有一个自然数,已知相对的两个面上的两数之和都相等,如果13,9,3的对面的数分别为,,a b c ,则222a b c ab bc ac ++---的值为 .(天津市竞赛试题)3.已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= .4.一个正整数,若分别加上100与168,则可得两到完全平方数,这个正整数为 .(全国初中数学联赛试题)5.已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+,则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为( ) A .0B .1C .2D .36.把2009表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示法有( )A .16种B .14种C .12种D .10种(北京市竞赛试题)7.若正整数,x y 满足2264x y -=,则这样的正整数对(,)x y 的个数是( )A .1B .2C .3D .4(山东省竞赛试题)第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8.已知3a b -=,则339a b ab --的值是( )A .3B .9C .27D .81(“希望杯”邀请赛试题)9.满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在?若存在,求出(,)m n 的值;若不存在,说明理由.10.数码不同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.(天津市竞赛试题)11.若x y a b +=+,且2222x y a b +=+, 求证:2003200320032003x y a b +=+.12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4,12,20这三个数都是神秘数.(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为22k +和2k (其中k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正值)是神秘数吗?为什么? (浙江省中考试题)专题3 和差化积----因式分解的方法(1)阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法,有公因式的先提公因式,分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止. 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法: 1.换元法:对一些数、式结构比较复杂的多项式,可把多项式中的某些部分看成一个整体,用一个新字母代替,从而可达到化繁为简的目的.从换元的形式看,换元时有常值代换、式的代换;从引元的个数看,换元时有一元代换、二元代换等. 2.拆、添项法:拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差,添项即把代数式添上两个符号相反的项,因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的,即经过拆项或添项后,多项式能恰当分组,从而可以运用分组分解法分解.例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________.(浙江省中考题)解题思路:把()x x +2看成一个整体,用一个新字母代换,从而简化式子的结构.【例2】观察下列因式分解的过程: (1)y x xy x 442-+-;原式=()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ;(2)bc c b a 2222+--.原式=()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222.第(1)题分组后能直接提公因式,第(2)题分组后能直接运用公式. 仿照上述分解因式的方法,把下列各式分解因式: (1)bc ac ab a -+-2;(西宁市中考试题)(2)yz z y x 44222+--.(临沂市中考试题)解题思路:通过分组,使每一组分组因式后,整体能再分解,恰当分组是关键,经历“实验--失败--再试验--再失败--直至成功”的过程.【例3】分解因式(1)1999)11999(199922---x x ;(重庆市竞赛题)(2)()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ;(“缙云杯”邀请赛试题)(3)()()()33322y x y x -----.(“五羊杯”竞赛试题)解题思路:(1)式中系数较大,直接分解有困难,不妨把数字用字母来表示;(2)式中y x +、xy 反复出现,可用两个新字母代替,突出式子的特点;(3)式中前两项与后一项有密切联系.【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后,正确的结果是( ).A .()()13--++y x y xB .()()31+--+y x y xC .()()13+--+y x y xD .()()31--++y x y x(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:直接分组分解困难,可考虑先将常数项拆成几个数的代数和,比如-3=-4+1.【例5】分解因式: (1)15++x x ;(扬州市竞赛题)(2)893+-x x ;(请给出多种解法)(“祖冲之杯”邀请赛试题)(3)1232234++++a a a a .解题思路:按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略.【例6】分解因式:611623+++x x x .(河南省竞赛试题)解题思路:拆哪一项?怎样拆?可有不同的解法.能力训练A 级1.分解因式: (1)2341x x x -+=___________________________. (泰安市中考试题)(2)33164mn n m -=__________________________.(威海市中考试题)2.分解因式:(1)xy y y x x 2)1()1(-++-=_________________________; (2)8)3(2)3(222-+-+x x x x =_____________________________. 3.分解因式:32422+++-b a b a =____________________________. 4.多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________.5.在1~100之间若存在整数n ,使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的n 有_______个. 6.将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积,结果是().A .)32)(32(z y x z y x ---+B .)32)(32(z y x z y x +---C .)32)(32(z y x z y x -+++D .)32)(32(z y x z y x --++ 7.下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是().A .2727923-+-x x x B .272723-+-x x x C .272734-+-x x x D .279323-+-x x x(“希望杯”邀请赛试题)8.把44+a 分解因式,其中一个因式是( ).A .1+aB .22+aC .42+aD .222+-a a 9.多项式abc c b a 3333++-有因式( ).A .b a c -+B .c b a ++C .ab ac bc c b a -+-++222 D .ab ac bc +-(“五羊杯”竞赛试题)10.已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积,那么( ).A .a 一定是奇数B .a 一定是偶数C .a 可为奇数也可为偶数D .a 一定是负数 11.分解因式:(1)13322)132(222-+-+-x x x x ; (2)90)384)(23(22-++++x x x x ;(3)1724+-x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (4)65223--+x x x ; (重庆市竞赛试题) (5)444)(y x y x +++;(6)2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----.12.先化简,在求值:2)()(2b a b a a +-+,其中 2008=a ,2007=b .B 级1.分解因式:344422-+--y y x x =_______________.(重庆市竞赛试题)2.分解因式:)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x =_____________.(“五羊杯”竞赛试题)3.分解因式:12)5)(3)(1(2+++-x x x =_________________________.(“希望杯”邀请赛试题)4.分解因式:15-+x x =______________________.(“五羊杯”竞赛试题)5.将145++x x 因式分解得().A .)1)(1(32++++x x x x B .)1)(1(32+++-x x x x C .)1)(1(32+-+-x x x x D .)1)(1(32+-++x x x x(陕西省竞赛试题)6.已知c b a ,,是△ABC 三边的长,且满足0)(22222=+-++c a b c b a ,则此三角形是( ). A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .不能确定 7.613223+-+x x x 的因式是( ).A .12-xB .2+xC .3-xD .12+x E. 12+x(美国犹他州竞赛试题)8.分解因式:(1)2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+; (湖北省黄冈市竞赛试题) (2)19991998199924+++x x x ; (江苏省竞赛试题) (3)22212)16)(1(a a a a a ++-++; (陕西省中考试题) (4)153143+-x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (5)333)(125)23()32(y x y x y x ---+-; (“五羊杯”竞赛试题) (6)6121444234++--x x x x . (太原市竞赛试题)9.已知乘法公式:))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式,分解因式:12468++++x x x x .(“祖冲之杯”邀请赛试题)10.分解因式: (1)x x x 27623-+; (2)123--+a a a ;(3)xy y x x y x ++--)7()2(822.11.对方程20042222=++b a b a ,求出至少一组正整数解.(莫斯科市竞赛试题)12.已知在△ABC 中,),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--, 求证:b c a 2=+.(天津市竞赛试题)专题04 和差化积----因式分解的方法(2)阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1.主元法所谓主元法,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式,使问题获解的一种方法. 2.待定系数法即对所给的数学问题,根据已知条件和要求,先设出一个或几个待定的字母系数,把所求问题用式子表示,然后再利用已知条件,确定或消去所设系数,使问题获解的一种方法,用待定系数法解题的一般步骤是:(1)在已知问题的预定结论时,先假设一个等式,其中含有待定的系数;(2)利用恒等式对应项系数相等的性质,列出含有待定系数的方程组;(3)解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得出需求问题的解.例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( ).A .()()()z x y x z y -+-B .()()()z x y x z y +--C .()()()z x y x z y +-+D .()()()z x y x z y -++(上海市竞赛题)解题思路:原式是一个复杂的三元二次多项式,分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列,改变原式结构,寻找解题突破口.【例2】分解因式:(1)bc ac ab c b a 54332222+++++;(“希望杯”邀请赛试题)(2)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--.(天津市竞赛题)解题思路:两个多项式的共同特点是:字母多、次数高,给分解带来一定的困难,不妨考虑用主元法分解.【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x .(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:因a 的最高次数低于x 的最高次数,故将原式整理成字母a 的二次三项式.【例4】k 为何值时,多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x(“五羊杯”竞赛试题)解题思路:由于原式本身含有待定系数,因此不能先分解,再求值,只能从待定系数法入手.【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.(江西省景德镇市竞赛题)解题思路:原多项式的最高次项是44x ,因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22,求出b a 、即可.【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +,)(c x +的乘积(c b ,为整数),则a 的值应为多少?(江苏省竞赛试题)解题思路:由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组,通过消元、分解因式解不定方程,求出a c b ,,的值.能力训练A 级1.分解因式:222449c bc b a -+-=___________________________.(“希望杯”邀请赛试题)2.分解因式:22635y y x xy x ++++=_______________________(河南省竞赛试题)3.分解因式:)(3)(322y x y y x x -+-+++=____________________________.(重庆市竞赛试题)4.多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________.(江苏省竞赛试题)5.把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是( )A .)2)(4(+---y x y xB .)8)(1(----y x y xC . )2)(4(--+-y x y xD .)8)(1(--+-y x y x6.已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a 的个数是( ).A .3 个B .4 个C .5 个D .6个 7.若4323+-kx x 被13-x 除后余3,则k 的值为( ). A .2 B .4 C .9 D .10(“CASIO 杯”选拔赛试题)8.若51-=+b a ,13=+b a ,则53912322+++b ab a 的值是( ). A .92 B .32 C .54D .0(大连市“育英杯”竞赛试题)9.分解因式:(1)ac bc ab b a 2222++--;(吉林省竞赛试题)(2)))((4)(2b ac b a c ----;(昆明市竞赛试题)(3)a x a x x 2)2(323-++-;(天津市竞赛试题)(4)12267222--++-y x y xy x ;(四川省联赛试题)(5)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy(天津市竞赛试题)10.如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积(c b 、为整数),那么a 应为多少?(兰州市竞赛试题)15.已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积,求b 的值.(浙江省竞赛试题)B 级1.若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ,则k =_______________.(“希望杯”邀请赛试题)2.设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积,则k =_____________.(“五羊杯”竞赛试题)3.已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式,则m =________________________. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4.多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ,则b a +的值为__________.(北京市竞赛试题)5.若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ,则b a +=().A .8B .7C . 15D .21E .22(美国犹他州竞赛试题)6.多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为( ).A .4B .5C .16D .25(“五羊杯”竞赛试题)7.若136498322++-+-=y x y xy x M (y x ,为实数),则M 的值一定是( ).A .正数B .负数C .零D .整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题)8.设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ,则),(n m =()A .(2,2)或(-2,-2)B .(2,2)或(2,-2)C .(2,-2)或(-2,2)D .(-2,-2)或(-2,2)(“希望杯”邀请赛试题)9.k 为何值时,多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛试题)10.证明恒等式:222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++.(北京市竞赛试题)11.已知整数c b a ,,,使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立,求c 的值.(山东省竞赛试题)12.证明:对任何整数y x ,,下列的值都不会等于33.543223451241553y xy y x y x y x x ++--+(莫斯科市奥林匹克试题)专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考:因式分解是代数变形的有力工具,在以后的学习中,因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础,其应用主要体现在以下几个方面:1.复杂的数值计算; 2.代数式的化简与求值; 3.简单的不定方程(组); 4.代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到,我们应熟悉这些结果: 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±; 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ;5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---.例题与求解【例1】已知0≠ab ,2220a ab b +-=,那么22a ba b-+的值为___________ .(全国初中数学联赛试题) 解题思路:对已知等式通过因式分解变形,寻求a ,b 之间的关系,代入关系求值.【例2】a ,b ,c 是正整数,a >b ,且27a ab ac bc --+=,则a c -等于( ).A . -1B .-1或-7C .1 D.1或7(江苏省竞赛试题) 解题思路:运用因式分解,从变形条件等式入手,在字母允许的范围内,把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形,它是研究代数式、方程和函数的重要工具,换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具.求代数式的值的基本方法有; (1)代入字母的值求值; (2)代入字母间的关系求值; (3)整体代入求值.【例3】计算:(1) 32321997219971995199719971998--+-g (“希望杯”邀请赛试题)(2)444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ (江苏省竞赛试题) 解题思路:直接计算,则必然繁难,对于(1),不妨用字母表示数,通过对分子、分母分解因式来探求解题思路;对于(2),可以先研究41()4x +的规律.【例4】求下列方程的整数解.(1)64970xy x y +--=; (上海市竞赛试题) (2)222522007x xy y ++=. (四川省竞赛试题) 解题思路:不定方程、方程组没有固定的解法,需具体问题具体分析,观察方程、方程组的特点,利用整数解这个特殊条件,从分解因式入手.解不定方程的常用方法有:(1)穷举法; (2)配方法; (3)分解法; (4)分离参数法.用这些方程解题时,都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=,2ab =,求下列各式的值: (1) 22a b ab +; (2) 22a b +; (3)2211a b +. 解题思路:先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方,则称自然数a 为完全立方数,如27=33,27就是一个完全立方数.若a =19951993×199519953-19951994×199519923,求证:a 是一个完全立方数. (北京市竞赛试题)解题思路:用字母表示数,将a 分解为完全立方式的形式即可.能力训练A 级1. 如图,有三种卡片,其中边长为a 的正方形卡片1张,边长分别为a ,b 的长方形卡片6张,边长为b 的正方形卡片9张,用这16张卡片拼成一个正方形,则这个正方形的边长为 ________.(烟台市初中考试题)babbaa2.已知223,4x y x y xy +=+-=,则4433x y x y xy +++的值为__________.(江苏省竞赛试题) 3.方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________. (“希望杯”邀请赛试题) 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式,那么m 的值为__________. (海南省竞赛试题)5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy ),则x yy x+的值是( ). A .2,122 B .2 C .122 D .12,22-- 6.当1x y -=,43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( ). A . -1 B .0 C .2 D .17.已知a b c >>,222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++,,则M 与N 的大小关 系是( ).A . M <NB .M >NC .M =ND .不能确定(“希望杯”邀请赛试题)8.n 为某一自然数,代入代数式3n n -中计算其值时,四个同学算出如下四个结果,其中正确的结果只能是( ).A . 388944B .388945C .388954D .388948(五城市联赛试题)9.计算:(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ (北京市竞赛试题)(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方,则称自然数a 为完全平方数,如64=82,64就是一个完全平方数,若a =19982+19982×19992+19992,求证:a 是一个完全平方数.(北京市竞赛试题)16.已知四个实数a ,b ,c ,d ,且a b ≠,c d ≠,若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=,82=+ac c ,28d ad +=,同时成立.(1)求a c +的值;(2)分别求a ,b ,c ,d 的值.(湖州市竞赛试题)B 级1.已知n 是正整数,且4216100n n -+是质数,那么n ____________ .(“希望杯”邀请赛试题)2.已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍,则222m n p ++=________ .(“希望杯”邀请赛试题)3.已知正数a ,b ,c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=,则(1)(1)(1)a b c +++=_________ . (北京市竞赛试题) 4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式44x y -,因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++,若取x =9,y =9时,则各个因式的值是:22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=,于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码,对于多项式324x xy -,取x =10,y =10时,用上述方法产生的密码是:__________.(写出一个即可).(浙江省中考试题)5.已知a ,b ,c 是一个三角形的三边,则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( ).A .恒正B .恒负C .可正可负D .非负(太原市竞赛试题) 6.若x 是自然数,设4322221y x x x x =++++,则( ).A . y 一定是完全平方数B .存在有限个x ,使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D .存在无限多个x ,使y 是完全平方数 7.方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组.A .3B .2C .1D .0(“五羊杯”竞赛试题)8.方程24xy x y -+=的整数解有( )组.A .2B .4C .6D .8(”希望杯”邀请赛试题)9.设N =695+5×694+10×693+10×692+5×69+1.试问有多少个正整数是N 的因数?(美国中学生数学竞赛试题)10.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时,大概会觉得算题的人用错了运算法则吧,因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++.但是,如果你动手计算一下,就会发现上式并没有错,不仅如此,我们还可以写出任意多个这种算式:333331313232++=++,333352525353++=++,333373737474++=++,3333107107103103++=++,… 你能发现以上等式的规律吗?11.按下面规则扩充新数:已有a ,b 两数,可按规则c ab a b =++扩充一个新数,而以a ,b ,c 三个数中任取两数,按规则又可扩充一个新数,…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4,求:(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.(重庆市竞赛试题)12.设k ,a ,b 为正整数.k 被22,a b 整除所得的商分别为m ,16+m .(1)若a ,b 互质,证明22a b -与22,a b 互质;(2)当a ,b 互质时.求k 的值;( 3)若a ,b 的最大公约数为5,求k 的值.(江苏省竞赛试题)专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等. 分式的运算与分数的运算类似,是以整式的变形、因式分解及计算为工具,以分式的基本性质、运算法则和约分为基础.分式的加减运算是分式运算的难点,解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分,通分通常有以下策略与技巧:1.分步通分,步步为营; 2.分组通分,化整为零; 3.减轻负担,先约分再通分; 4.拆项相消后通分; 5.恰当换元后通分, 学习分式时.应注意:(1)分式与分数的类比.整数可以看做是分数的特殊情形,但整式却不能看做是分式的特殊情形; (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围,这是分式区别于整式的关键所在. 分式问题比起整式问题,增加了几个难点; (1)从“平房”到“楼房”,在“脚手架”上活动;(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序; (3)需要考虑字母的取值范围, 例题与求解【例1】m =_________时,分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. (杭州市中考试题)解题思路:分母不为0时,分式有意义,分子与分母的公因式1m -就不为0.【例2】 已知1abc =,以2a b c ++=,2223a b c ++=,则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( ).A .1B .12-C .2D .23- (太原市竞赛试题)解题思路:不宜直接通分,运用已知条件2a b c ++=,对分母分解因式,分解后再通分.【例3】计算:(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ (武汉市竞赛试题)(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- (天津市竞赛试题)(3)33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--(赣州市竞赛试题)(4)22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-(漳州市竞赛试题)解题思路:由于各个分式复杂,因此,必须仔细观察各式中分母的特点,恰当运用通分的相关策略与技巧;对于(4),注意到题中各式是关于ba或ab的代数式,考虑设bxa=,ayb=,则1xy=,通过换元可降低问题的难度.当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时,我们可以从局部入手将原题分解。